Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1983) Caracol Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um caracol, numa de suas viagens, andou [tex3]9x[/tex3] metros na primeira hora, [tex3]3x[/tex3] metros na segunda hora, [tex3]x[/tex3] metros na terceira hora e, assim, sucessivamente.
Se durante [tex3]100[/tex3] horas, ele percorreu [tex3]\frac{3^{100}-1}{3^{100}}[/tex3] metros, o espaço percorrido, em metros, na primeira hora, foi de:

a) [tex3]1,5[/tex3].
b) [tex3]\frac{7}{3}[/tex3].
c) [tex3]2,1[/tex3].
d) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3].
e) [tex3]0,95[/tex3].

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

A soma dessas distâncias trata -se de uma PG da forma infinita da forma:

[tex3](9x, 3x ,x,\frac{x}{3}, \frac{x}{9}....)[/tex3] e [tex3]q= \frac{1}{3}[/tex3]

Cálculo da soma das distâncias:

[tex3]S= \frac{a_1}{1-q} \Rightarrow S= \frac{9x}{1- \frac{1}{3}} \Rightarrow S= \frac{27x}{2}[/tex3]

Como a soma das distâncias é [tex3]\frac{3^{100}-1}{3^{100}}[/tex3] , podemos escrever:

[tex3]\frac{27x}{2}= \frac{3^{100}-1}{3^{100}} \Rightarrow x=2(\frac{3^{100}-1}{3^{100}.3^3}) \Rightarrow x= 2(\frac{3^{100}-1}{3^{103}}) \Rightarrow x= 2 (\frac{3^{100}}{3^{103}}- \frac{1}{3^{103}})[/tex3]

A fração [tex3]\frac{1}{3^{103}}[/tex3] tende a zero logo:

[tex3]x= \frac{2}{27}[/tex3]

O espaço percorrido na primeira hora é igual a :

[tex3]d= 9x \Rightarrow d= 9. \frac{2}{27} \Rightarrow d= \frac{2}{3}[/tex3]

Alternativa: d