IME / ITA ⇒ Trigonometria ime(folha poliedro) Tópico resolvido

[pedrocg2008]

Alguém me ajuda nesta questão porfavor, não sei complexos, só trigonometria! A folha esta na parte se protasférese.

(IME 84) Obtenha uma relação entre [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3], eliminando [tex3]x[/tex3] entre as duas equações abaixo:

[tex3]a \cdot \sen x - b \cdot \cos x = \frac{1}{2}\cdot c\cdot \sen 2x[/tex3]
[tex3]a \cdot \cos x + b \cdot \sen x = c \cdot \cos 2x[/tex3]

Foto da dolha

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Resposta

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a⅔+b⅔=c⅔

[LostWalker]

Introdução (Desnecessária)

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Primeiramente, eu fiquei num tempo de folga e obrigado pela pergunta! Eu fiquei cerca de 2h30 pra conseguir resolver! Foi realmente excitante. A ideia que eu usei pra resolver chega a ser simples no final das contas.




Questão e Observações

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[tex3]\mbox{I.}\,\,\,\,\,\,a \cdot \sen(x) - b \cdot\cos(x) = \frac{1}{2}\cdot c\cdot {\color{PineGreen}\sen(2x)}\\
\mbox{II.}\,\,\,\,a\cdot\cos(x) + b\cdot\sen(x) = c \cdot\cos(2x)[/tex3]

[tex3]\mbox{I.}\,\,\,\,\,\,a \cdot \sen(x) - b \cdot\cos(x) = \frac{1}{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\cdot c\cdot {\color{PineGreen}{\color{Red}\cancel{\color{PineGreen}2}}\cdot\sen(x)\cos(x)}\\
\mbox{II.}\,\,\,\,a\cdot\cos(x) + b\cdot\sen(x) = c \cdot\cos(2x)[/tex3]

[tex3]\mbox{I.}\,\,\,\,\,\,a \cdot \sen(x) - b \cdot\cos(x) = c\cdot\sen(x)\cos(x)\\
\mbox{II.}\,\,\,\,a\cdot\cos(x) + b\cdot\sen(x) = c \cdot\cos(2x)[/tex3]

Observações: Para Prostaferese, é necessário que seja Senos ou Cossenos; num exercício como esse, é provável que o início seja com alguma multiplicação para usarmos Werner. Note que, para tirarmos um função trigonométrica, ou zeramos esse termo, ou usamos a igualdade pitagórica. Nesses exercício, usei os dois.




Parte 1

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Vamos tomar [tex3]\mbox{I}\cdot \sen(x)+\mbox{II}\cdot \cos(x)[/tex3]

[tex3]\mbox{I}\cdot\sen(x)\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{YellowOrange}a \cdot \sen^2(x) - b \cdot\sen(x)\cos(x) = c\cdot\sen^2(x)\cos(x)}\\
\mbox{II}\cdot\cos(x)\,\,\,\,\,\,{\color{RoyalBlue}a\cdot\cos^2(x) + b\cdot\sen(x)\cos(x) = c \cdot\cos(2x)\cos(x)}\\
[/tex3]
[tex3]\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,a \big( {\color{Red}\cancel{{\color{YellowOrange}\sen^2(x)}{\color{RoyalBlue}\,\,+\,\cos^2(x)}}^1}\big) +\big({\color{Red}\cancel{{\color{RoyalBlue}b}\,\,{\color{YellowOrange}-\,\,b}}^0}\big)\sen(x)\cos(x) = c\cdot\cos(x)\big[{\color{RoyalBlue}\sen^2(x)}{\color{YellowOrange}\,\,+\,\cos(2x)}\big]\\

\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,a = c\cdot\cos(x)\big[{\color{SeaGreen}\sen^2(x)}+{\color{Purple}\cos(2x)}\big]\\

\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,a = c\cdot\cos(x)\big[{\color{SeaGreen}{\color{Red}\cancel{\color{SeaGreen}1}}-\cos^2(x)}+{\color{Purple}2\cos^2(x){\color{Red}\cancel{\color{Purple}-1}}}\big]\\

\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,a = c\cdot\cos(x)\cdot\cos^2(x)[/tex3]

[tex3]\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\cos(x)=\frac{a^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}}[/tex3]



Parte 2

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Agora tomemos [tex3]\mbox{II}\cdot \sen(x)-\mbox{I}\cdot \cos(x)[/tex3]

[tex3]\mbox{I}\cdot\cos(x)\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{YellowOrange}-\,a \cdot\sen(x)\cos(x) + b \cdot \cos^2(x) = -\,c\cdot\sen(x)\cos^2(x)}\\
\mbox{II}\cdot\sen(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{RoyalBlue}a\cdot\sen(x)\cos(x)+b\cdot\sen^2(x) = c \cdot\cos(2x)\sen(x)}\\
[/tex3]
[tex3]\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,\big({\color{Red}\cancel{{\color{RoyalBlue}a}\,\,{\color{YellowOrange}-\,\,a}}^0}\big)\sen(x)\cos(x)+b \big( {\color{Red}\cancel{{\color{RoyalBlue}\sen^2(x)}{\color{YellowOrange}\,\,+\,\cos^2(x)}}^1}\big) = c\cdot\sen(x)\big[{\color{RoyalBlue}\cos(2x)}{\color{YellowOrange}\,\,-\,\cos^2(x)}\big]\\

\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,b = c\cdot\sen(x)\big[{\color{SeaGreen}\cos(2x)}-{\color{Purple}\cos^2(x)}\big]\\

\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,b = c\cdot\sen(x)\big[{\color{SeaGreen}{\color{Red}\cancel{\color{SeaGreen}1}}-2\sen^2(x)}+{\color{Purple}\sen^2(x){\color{Red}\cancel{\color{Purple}-1}}}\big]\\

\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,b = c\cdot\sen(x)\cdot(-1)\cdot\sen^2(x)[/tex3]

[tex3]\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\sen(x)=\frac{-b^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}}[/tex3]



Parte 3

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Para Finalizarmos, vamos substituir tudo na [tex3]\mbox{I}\cdot(-1)[/tex3], julgo nessa ser mais fácil

[tex3]\mbox{I}\cdot(-1)\,\,\,\,\,\,-a \cdot {\color{SeaGreen}\sen(x)} + b \cdot{\color{Purple}\cos(x)} = -\,c\cdot{\color{SeaGreen}\sen(x)}{\color{Purple}\cos(x)}[/tex3]

[tex3]\mbox{I}\cdot(-1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-a \cdot {\color{SeaGreen}\frac{-b^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}} + b \cdot{\color{Purple}\frac{a^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}} = -\,c\cdot{\color{SeaGreen}-\frac{b^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}}{\color{Purple}\frac{a^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}}[/tex3]

[tex3]\mbox{I}\cdot(-1)\,\,\,\,\,\,\frac{a^{\frac{3}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}+\frac{a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{3}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}=\frac{a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot c^{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac{3}{3}}\frac{1}{3}}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}c^{\frac{2}{3}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mbox{Multiplicando por}\,\,\frac{c^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}}
[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}}[/tex3]



Comentário (Inúteis)

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Então, eu estou sempre testando algumas formatações, e eu n sei dizer ao certo se ficou com muita cor ou poluição visual. Se alguém quiser falar onde posso mudar, considerarei em futuras resposta. E novamente, valeu por esse questão, AMEI!

[NigrumCibum]

Bela resposta, LostWalker, a álgebra tem desses truques mesmo.

[snooplammer]

Uma outra solução é de fato usar complexos.

A ideia clássica pra [tex3]a \sen x + b\cos x[/tex3] no campo complexo, seria naturalmente fazer [tex3]z = a + bi[/tex3].

Note que se torna natural chamar [tex3]w = \cis x[/tex3], já que há [tex3]a \sen x+ b\cos x[/tex3] e [tex3]a \sen x- b\cos x[/tex3]

Se você fizer [tex3]zw = a\cos x- b\sen x + (a\sen x + b\cos x)i[/tex3]. Não é bem o que temos na questão, né. Então que tal fazer

[tex3]z \overline w = a\cos x + b\sen x +i(b\cos x - a\sen x) [/tex3]

Mas, também sabemos que [tex3]z \overline w = r\cis \varphi \cis( -x) = r\cis (\varphi - x) = a\cos x + b\sen x +i(b\cos x - a\sen x) [/tex3]

[tex3]r\cos(\varphi - x)+ r\sen(\varphi - x)i = a\cos x + b\sen x +i(b\cos x - a\sen x)[/tex3]

Substituindo o que foi dado no enunciado,

[tex3]r\cos(\varphi - x)+ r\sen(\varphi - x)i = c \cos 2x +i(-c\cdot \sen 2x\cdot \frac{1}{2}) [/tex3]

[tex3]r\cos(\varphi - x) = c\cos 2x[/tex3] e [tex3]r\sen(\varphi - x) = -c\cdot \sen 2x\cdot \frac{1}{2} [/tex3]

[tex3]\frac{\sen(\varphi - x)}{\cos(\varphi -x)} = \frac{-\sen 2x}{2 \cos 2x}[/tex3]

[tex3]2\tg(\varphi - x) = - \tg2x[/tex3]

[tex3]2\frac{\tg \varphi - \tg x}{1+ \tg \varphi \tg x} = \frac{-2\tg x}{1 - \tg^2 x}[/tex3]

Chamando [tex3]k = \tg \varphi [/tex3] e [tex3]t = \tg x[/tex3]

[tex3]2\frac{k-t}{1+ kt} = \frac{-2t}{1-t^2}[/tex3]

[tex3](1 - t^2)(k-t) = -t(1+kt)[/tex3]

[tex3]k-t-t^2k-t^3 = -t-kt^2[/tex3]

[tex3]t^3 = - k[/tex3]

[tex3]t = -\sqrt[3]{k}[/tex3], [tex3]\frac{\sen x}{\cos x } = -\sqrt[3]{k} \iff \sen x = -\sqrt[3]{k}\cos x [/tex3].

[tex3]k = \tg \varphi[/tex3] e [tex3]\varphi = \arg (a+bi) = \arctan \frac{b}{a}[/tex3]. Depois disso é só substituir [tex3]\sen x [/tex3] no sistema e achar [tex3]\cos x[/tex3] em função de a, b e c. E daí substituir ambos na outra equação do sistema.

[pedrocg2008]

Ficou ótima a resposta LostWalker!!! Eu que agradeço por ter me ajudadooooo!

[ProfLaplace]

Parabéns LostWalker pela solução! Ficou bem elegante mesmo!
Eu só queria complementar com algo que acredito que tenha faltado.
Você assume logo no começo que [tex3]c\neq0[/tex3], pois passou ele dividindo.

Formalmente também seria necessário assumir o caso em que [tex3]c=0[/tex3], pois o enunciado não nos garante que [tex3]c\neq0[/tex3].
Se [tex3]c=0[/tex3], as tuas equações facilmente nos garantem que [tex3]a=b=0[/tex3] também.
Mas a opção [tex3]a=b=c=0[/tex3] verifica o gabarito [tex3]a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}[/tex3]. Então felizmente não haveria a necessidade de explicitar esse caso na resposta, pois ele já seria englobado por esse gabarito.

Mas no meio disso há outro problema: na última passagem você assume que [tex3]a\neq 0[/tex3] e [tex3]b\neq 0[/tex3], coisa que o enunciado também não garante. Caso [tex3]a=0[/tex3] ou [tex3]b=0[/tex3], a última etapa da sua dedução ficaria atravancada.
Note que se [tex3]a=b=0[/tex3], podemos ver no sistema original que se teria [tex3]c=0[/tex3].
Mas à princípio poderíamos ter [tex3]a=0[/tex3], [tex3]b\neq0[/tex3] e [tex3]c\neq0[/tex3], que deveria ser considerado também. Ou também [tex3]a\neq0[/tex3], [tex3]b=0[/tex3] e [tex3]c\neq0[/tex3]. Deixo a análise destes casos restantes para vocês.

Enfim, esse comentário está ficando mais longo do que eu planejei haha. O IME poderia ter "facilidado" a vida se tivessem afirmado que os parâmetros não são nulos.
De qualquer forma, me parece que todos esses casos à parte poderão ser englobados na resposta [tex3]a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}[/tex3]. Mesmo assim, à título de rigor, é preciso considerá-los.

Abraço e parabéns novamente pela solução.