Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP/2010 - 2º Fase ) Função Tópico resolvido

[Viytor]

Suponha que [tex3]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex3] seja uma função ímpar (isto é, [tex3]f(–x) = – f(x)[/tex3]) e periódica, com período 10 (isto é, [tex3]f(x) = f(x + 10)[/tex3]). O gráfico da função no intervalo [tex3][0, 5][/tex3] é apresentado abaixo.

a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [– 10, 10], e calcule o valor de f(99).

UNICAMP 2010 Gráfico.png (55.96 KiB) Exibido 3086 vezes

b) Dadas as funções [tex3]g(y) = y^2 – 4y[/tex3] e [tex3]h(x) = g(f(x)),[/tex3] calcule [tex3]h(3)[/tex3] e determine a expressão de [tex3]h(x)[/tex3] para [tex3]2,5 ≤ x ≤ 5.[/tex3]


Respostas:

Resposta

---

a) gráfico; f(99)= -2
b) h(3) = 0 ; h(x)= 4x^2-32x+60

[petrasMOD]

Viytor,

a) Se é periódica f(x) = f(x+10) temos f(99) = f(9).
Assim em 7,5 ≤ x ≤ 10, teremos a reta y = mx + b:
[tex3]\mathtt{m = \frac{0-(-5)}{10-7,5}=2\rightarrow \\
y = 2x+b\rightarrow 0=2.10+b\rightarrow b = -20\therefore y =2x-20\\
f(9) = 2(9)-20=-2}[/tex3]

b) [tex3]\mathtt{h(3) = g(f(3)).\\
g(y)=y^2-4y\\

Para\ 2,5 ≤ x ≤ 5, m = \frac{(5-0)}{2,5-5}=-2\rightarrow y = -2x+b\rightarrow 0=-2.5+b\rightarrow b = 10\\\therefore f(x) = – 2x + 10 \rightarrow f(3) = -2.3+10=4\\\\
h(3) =g(f(3))=g(4)=((4^2- 4.4) \therefore \boxed{\color{red}h(3)= 0}\\
h(x) =g(f(x)) = (-2x+10)^2-4(-2x+10)=4x^2-40x+100+8x-40=\boxed{\color{red} 4x^2 – 32x + 60}}[/tex3]

[SWR]

Petras, porque f(99)=f(9)? Seria porque em 99 há 9 período completo, restando 9 unidades.?!

[petrasMOD]

SWR,

Sim
f(x+kp) = f(x+10k) = f(9+10.9)

[SWR]

Boa, Petras... Imaginava isso mesmo...Grato...!!