IME / ITA ⇒ (IME-RJ) Hipérbole e elipse Tópico resolvido

[JaymeIII]

Calcule as coordenadas dos pontos de interseção da elipse com a hipérbole, presentes na figura abaixo, sabendo-se que:

Se alguem souber onde consigo fazer gráficos decentes me diga.

IME.JPG (18.38 KiB) Exibido 4190 vezes

a) os pontos C e C' são os focos da elipse e os pontos A e A' são os focos da hipérbole.
b) BB' é o eixo conjugado da hipérbole.
c) OB = OB' = 3 m e OC = OC' = 4 m.

[fabit]

Vale [tex3]b=3[/tex3] tanto para a elipse como para a hipérbole. Os parâmetros [tex3]a[/tex3] e [tex3]c[/tex3] estão trocados para uma e outra, sendo [tex3]c=4[/tex3] para a elipse e [tex3]a=4[/tex3] para a hipérbole.

Para a elipse vale a equação espontânea [tex3]a^2=b^2+c^2[/tex3] e portanto [tex3]a^2=3^2+4^2=25\Rightarrow a=5[/tex3]. Para a hipérbole fica [tex3]c=5[/tex3].

Equações reduzidas:

[tex3]\begin{cases}\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\\\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\end{cases}[/tex3]

Somando, fica [tex3]\frac{x^2}{25}+\frac{x^2}{16}=2\Rightarrow(16+25)x^2=2.25.16\Rightarrow41x^2=800[/tex3]

Então [tex3]x^2=\frac{800}{41}[/tex3] e daí as abscissas são [tex3]x=\pm\frac{20\sqrt{41}}{41}[/tex3].

Substituindo [tex3]x^2[/tex3] na equação da elipse (poderia ser na da hipérbole, tanto faz):

[tex3]\frac{32}{41}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow41y^2+9.32=9.41\Rightarrow41y^2=369-288=81[/tex3]

Portanto [tex3]y^2=\frac{81}{41}[/tex3] e daí as ordenadas são [tex3]y=\pm\frac{9\sqrt{41}}{41}[/tex3].

Logo, os pontos de interseção são as 4 possibilidades escritas resumidamente assim: [tex3]\(\pm\frac{20\sqrt{41}}{41};\pm\frac{9\sqrt{41}}{41}\)[/tex3]

[JaymeIII]

Caraca, cara! Eu sou um animal!

Depois que chegou no sistema, você só fez diminuir, eu isolei o x na equação da hipérbole(!!!) e substituí na da elipse(!!!).
Então, depois de tentar suicídio (brincadeira) ao ver o montro que criei, decidi por o problema aqui.

[JaymeIII]

Houve um erro ao calcular x, nesse seu trecho:

Então [tex3]x^2=\frac{800}{41}[/tex3] e daí as abscissas são [tex3]x=\pm\frac{20\sqrt{41}}{41}[/tex3].

[tex3]x^2=\frac{800}{41}\\
x=\pm \frac{\sqrt{800}}{\sqrt{41}}\\
x=\pm \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{41}}\\[/tex3]

Racionalizando:

[tex3]x=\pm \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{41}}[/tex3] [tex3](.\frac{\sqrt41}{\sqrt41})[/tex3]
[tex3]x=\pm \frac{20\sqrt{2.41}}{41}\\
x=\pm \frac{20\sqrt{82}}{41}[/tex3]

[fabit]

É, eu sei, e tinha chegado à resposta certa antes. Enrolei-me com um uso de ctrl-C ctrl-V estabanado. Entre um "Prever" e outro acabei substituindo a abscissa pela ordenada e depois na hora de retificar esqueci que era 82 em vez de 41.

Valeu!