Pré-Vestibular ⇒ (unifeso 2020) - Geometria Plana e Espacial

[nickolasm]

O retângulo ABCD, ilutrado abaixo, representa a planificação da superficie lateral de um cubo e tem M como ponto médio do lado AB

imagem 2.PNG (5.51 KiB) Exibido 4782 vezes

Os segmentos DM e MC contornam as quatro faces laterais desse cubo, formando assim um losango de área 8 [tex3]\sqrt{6} cm{2}[/tex3]
A medida, em cm, da aresta desse cubo é igual a:
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 6

Resposta

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D

[LostWalker]

A Resolução Abaixo está Incorreta e Incompleta

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É algo comum eu começar a responder enquanto resolvo a pergunta, o que me leva as vezes a trechos sem saídas com uma resposta quase completa, e normalmente eu não posto. Entretanto, essa questão realmente me foi uma grande incógnita. Considerando que eu enxerguei a figura de forma errada, o caminho abaixo não leva a resolução. De todo modo, como pra mim era a forma mais provável, eu vou deixar aqui para encontrar algum erro caso eu tenha cometido.

No mais, quando o número não bateu, eu revisei as contas, usei o gab pra fazer "engenharia reversa", fui atrás da questão original e achei, Vestibular Medicina Unifeso 2020.1, e aqui adiciono uma correção, segundo o Gabarito (após recurso), a alternativa correta é [tex3]C[/tex3], sendo o valor da aresta igual a [tex3]4[/tex3]; Eu também refiz as contas a partir do Gab e não obtive sucesso, o que reforça a ideia que eu enxerguei a figura de forma errada. No mais, eu tentei considerar também erros de escrita, aplicando como se não fosse um losango, ou que na verdade se tratava da diagonal e não aresta do losango ou que a questão queria a diagonal e não aresta do cubo (Só não calculei a diagonal da face do cubo, mas pela raiz, também não deve ser isso). No mais, deixo abaixo minha contribuição para que encontrem o caminho e resposta correta.



Enxergando a Figura

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Esse exercício me soou bem confuso até entender do que se tratava a figura, mas após isso, se torna bem fácil eu diria (mas ainda vou perder um bom tempo pra desenhar tudo isso).

Para entender essa figura, eu a remontei a baixo

Geo Plana 2.png (4.28 KiB) Exibido 4774 vezes

Note que a ilustração se refere apenas como Área Lateral, ou seja, é "vazado", não tem Base e nem um Topo, para formar a figura, os pontos se unem e a figura fica igual como está abaixo (O ponto [tex3]M[/tex3] está atrás da figura):

Geo Plana 1.png (3.94 KiB) Exibido 4774 vezes

Nisso, o Losango ao qual ele se refere é esse abaixo (Aqui eu desenhei como se eu tivesse "cortado" o [tex3]\Delta \mbox{CDM}[/tex3] pra fora; e também coloquei pontos de apoio para tornar a explicação mais dinâmica):

Geo Plana 3.png (4.8 KiB) Exibido 4774 vezes

Definindo a Aresta do Losango

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Como pode notar, os lados são iguais, logo, o lado [tex3]l_{\huge\diamond}[/tex3] é [tex3]\boxed{{l_{\huge\diamond}}^2=8\sqrt{6}}[/tex3]. (Nota, isso só é válido quando o losango possui lados iguais e a diagonais são perpendiculares, como é o caso dessa figura).



Definindo a Aresta do Quadrado

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Note agora o trecho abaixo (criei mais um ponto de apoio):

Geo Plana 4.png (6.81 KiB) Exibido 4774 vezes

O [tex3]\Delta\mbox{EGM}[/tex3] segue a relação pitagórica, basta aplica-la:

[tex3]{l_\square}^2+\(\frac{l_\square}{2}\)^2={l_{\huge\diamond}}^2[/tex3]

[tex3]{l_\square}^2+\frac{{l_\square}^2}{4}={l_{\huge\diamond}}^2[/tex3]

[tex3]\frac{{5\cdot l_\square}^2}{4}={\color{SeaGreen}{l_{\huge\diamond}}^2}[/tex3]

[tex3]\frac{{5\cdot l_\square}^2}{4}={\color{SeaGreen}8\sqrt{6}}[/tex3]

Nota: Parei aqui quando reparei que os números não faziam sentido.

[petrasMOD]

nickolasm, LostWalker,
Sendo a = aresta do cubo
d = diagonal menor (IJ)
D = diagonal maior (BH)
[tex3]\mathtt{S\Diamond =\frac{D.d}{2}=8\sqrt{6}\\
D = a\sqrt{3}\\
8\sqrt{6 }=\frac{a\sqrt{3}.d}{2}(I)\\
mas\ d \rightarrow \Delta_{IKJ}\rightarrow a^2+a^2=d^2\rightarrow d = a\sqrt{2
}\\
Em(I):8\sqrt{6}=\frac{a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{2}\rightarrow a^2=16\therefore \boxed{\color{red}a = 4}}[/tex3]

[LostWalker]

nickolasm, LostWalker,
Sendo a = aresta do cubo
d = diagonal menor (IJ)
D = diagonal maior (BH)
[tex3]\mathtt{S\Diamond =\frac{D.d}{2}=8\sqrt{6}\\
D = a\sqrt{3}\\
8\sqrt{6 }=\frac{a\sqrt{3}.d}{2}(I)\\
mas\ d \rightarrow \Delta_{IKJ}\rightarrow a^2+a^2=d^2\rightarrow d = a\sqrt{2
}\\
Em(I):8\sqrt{6}=\frac{a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{2}\rightarrow a^2=16\therefore \boxed{\color{red}a = 4}}[/tex3]

Olhando agora, encontrei meu erro; Quando eu estava definindo a área do losango, eu fiquei considerando que as duas diagonais do losango eram iguais; entretanto, uma das diagonais era igual a diagonal do cubo e a outra diagonal é igual a diagonal da face, uma desatenção da minha parte. Eu devia ter forçado uma reposta assim, quando eu ficava vendo [tex3]\sqrt{6}[/tex3], só conseguia pensar que isso viria de [tex3]\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}[/tex3], sendo [tex3]\sqrt{3}[/tex3] deveria vir da diagonal do cubo e [tex3]\sqrt{2}[/tex3] viria da diagonal da face do cubo. Obrigado