Pré-Vestibular ⇒ (Unicentro 2006) PG Tópico resolvido

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A seqüência de figuras, a seguir, mostra como é obtido o Fractal “Orelhas de rato”.

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Considerando que r é a medida do raio do círculo inicial (Figura 1), e que nas figuras seguintes, a medida do raio, de cada novo círculo, é a metade da medida do raio do menor círculo da figura anterior, assinale a alternativa que apresenta a área da Figura 10 dessa sequência.

a)[tex3]\frac{2^{10}-1}{2^{9}}\pi r^2[/tex3]
b)[tex3]\frac{2^{19}-1}{2^{18}}\pi r^2[/tex3]
c)[tex3]\frac{2^{9}-1}{2^{8}}\pi r^2[/tex3]
d)[tex3]\frac{3}{2}\pi r^2[/tex3]
e)[tex3]2\pi r^2 [/tex3]

Resposta

---

A

[csmarceloMOD]

A área da figura 1 é [tex3]\pi r^2[/tex3].

A área da figura 2 é [tex3]\pi r^2+\underbrace{2\pi\(\frac{r}{2}\)^2}_{\text{mais }2^1=2\text{ circunferências, com metade}\\\text{do raio do menor círculo da figura anterior}}=\pi r^2+\frac{\pi r^2}{2}[/tex3].

A área da figura 3 é [tex3]\pi r^2+\frac{\pi r^2}{2}+\underbrace{4\pi\(\frac{r}{4}\)^2}_{\text{mais }2^2=4\text{ circunferências, com metade}\\\text{do raio do menor círculo da figura anterior}}=\pi r^2+\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi r^2}{4}[/tex3].

A área da figura 4 é [tex3]\pi r^2+\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi r^2}{4}+\underbrace{8\pi\(\frac{r}{8}\)^2}_{\text{mais }2^3=8\text{ circunferências, com metade}\\\text{do raio do menor círculo da figura anterior}}=\pi r^2+\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi r^2}{4}+\frac{\pi r^2}{8}[/tex3].

E assim por diante...

Portanto, a área da figura até a figura 10 é:

[tex3]\pi r^2+\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi r^2}{2^2}+\frac{\pi r^2}{2^3}+...+\frac{\pi r^2}{2^9}=\pi r^2+\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{9}\)\pi r^2=\pi r^2+\(\frac{2^9-1}{2^9}\)\pi r^2=\(\frac{2^{10}-1}{2^9}\)\pi r^2[/tex3]

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@csmarceloMOD, obrigado!!!