Ensino Médio ⇒ Demonstração da relação das medianas no triângulo retângulo Tópico resolvido

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Alguém poderia demonstrar a relação abaixo:

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Fonte: Elementos da Matemática VOL 2 - Marcelo Rufino

Partindo da segunda demonstração, aí que entra a parte de ser retângulo...

[geobson]

Daí , sabe -se que que a mediana que toca a hipotenusa a , vale a/2. Substituindo. Por m _a e se valendo da relaçao de pitágoras [tex3]a^{2} = b^{2} + c^{2}[/tex3] , chega- se ao referido resultado.

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Zhadnyy, geobson,

A demonstração da imagem já conhecia....gostaria que postassem a demonstração...
Partindo da segunda demonstração, aí que entra a parte de ser retângulo...e ?
chega- se ao referido resultado e?....demonstre..

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[tex3]4(m_a^2+m_b^2+m_c^2)=3(a^2+b^2+c^2)\\
4(m_a^2+m_b^2+m_c^2)=6c^2\\
mas\\
c=2m_c \text{ que é propriedade do triangulo retangulo de hipotenusa c}\\
c^2=4m_c^2\\
4(m_a^2+m_b^2+m_c^2)=6.4m_c^2\\
m_a^2+m_b^2=5m_c^2\\
qed[/tex3]

[petrasMOD]

Zhadnyy,
Boa Zadhnyy,,grato