Ensino Superior ⇒ Limite (Conjugado) Tópico resolvido

[magben]

[tex3]lim_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1} = [/tex3]

Multiplique numerador e denominador pelo conjugado de √( x + √x ) - √( x - 1 ) que é √( x + √x ) + √( x - 1 ).

Daí,

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}).(\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1})}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}= [/tex3]

Desenvolvendo ( ficará como exercício para você ), obtemos:

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}= [/tex3]

Agora coloque a √x em evidência tanto no numerador como no denominador, fica;

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sqrt{x}.\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{x.\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}+\sqrt{x.\left(1-\frac{1}{x}\right)}}= [/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sqrt{x}.\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{\sqrt{x}.\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}}= [/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{ \cancel{\sqrt{x}}.\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{ \cancel{\sqrt{x}}. \left (\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} \right ) } = [/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1+\cancelto{0}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1+\cancelto{0}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}+\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}} = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}[/tex3]

Portanto,[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1} = \frac{1}{2}[/tex3].



Excelente estudo!