IME / ITA ⇒ (AFA - 1989) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Sabendo-se que [tex3]0 < a \leq b < \frac{\pi}{2}[/tex3], [tex3]\frac{sen^2a}{sen^2b}=\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]cos^2a+sen^2b=\frac{5}{4}[/tex3], então [tex3]a+b[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{5\pi}{12}[/tex3].
b) [tex3]\frac{7\pi}{12}[/tex3].
c) [tex3]\frac{9\pi}{12}[/tex3].
d) [tex3]\frac{11\pi}{12}[/tex3].

[adrianotavares]

Olá,Aldrin.


[tex3]2sen^2a= sen^2b[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

[tex3]cos^2a+sen^2b= \frac{5}{4}[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](i)[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3] teremos:

[tex3]cos^2a+2sen^2a= \frac{5}{4} \Rightarrow sen^2a+sen^2a +cos^2a = \frac{5}{4}[/tex3]

Lembrando que: [tex3]sen^2a+cos^2a= 1[/tex3] teremos;

[tex3]sen^2a+1= \frac{5}{4} \Rightarrow sen^2a = \frac{1}{4} \Rightarrow sena= \pm \frac{1}{2}[/tex3]

Sendo [tex3]a< \frac{\pi}{2}[/tex3] temos que [tex3]sena= \frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]a= arcsen\frac{1}{2} \Rightarrow a= \frac{\pi}{6}[/tex3]

Cálculo do [tex3]senb[/tex3]:

[tex3]2. \frac{1}{4}= sen^2b \Rightarrow sen^2b= \frac{1}{2} \Rightarrow senb = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Sendo [tex3]b < \frac{\pi}{2}[/tex3] temos que [tex3]senb= \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

[tex3]b= arccos\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow b= \frac{\pi}{4}[/tex3]

Logo, o valor de [tex3]a+b[/tex3] será:

[tex3]a+b= \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \Rightarrow a+b= \frac{5 \pi}{12}[/tex3]

Alternativa: a