IME / ITA ⇒ (IME - 1957) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um setor circular de [tex3]30^\circ[/tex3] e raio [tex3]R[/tex3] gira em torno de um de seus raios limites, gerando assim um setor esférico, no qual se inscreve uma esfera. Pede-se determinar, em função do raio do setor, o raio de outra esfera, tangente à superfície interna da calota, à superfície cônica do setor, e à esfera nele inscrita.

[marco_sx]

Olá ALDRIN!

Essa questão é mais braço do que raciocínio.

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AC=R', BD=r,OB=R-r

Do triângulo OAC: [tex3]R'=(R-R').sen30^\circ \Rightarrow R'=\frac{R}{3}[/tex3]

[tex3]OC=\frac{2R}{3}.cos30^\circ=\frac{R\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Transladando CD até que D coincida com B e aplicando Pitágoras no triângulo retângulo formado, temos:

[tex3](\frac{R}{3}+r)^2=(\frac{R}{3}-r)^2+(CD)^2 \Rightarrow CD=\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{Rr}[/tex3]

Do triângulo OBD: [tex3](R-r)^2=r^2+(\frac{R\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{Rr})^2[/tex3]

[tex3]R=5r+2\sqrt{Rr} \Rightarrow r=\frac{7 \pm 2\sqrt{6}}{25}R[/tex3]

Mas apenas um valor é solução, pois a outra é maior que R', e sabe-se que isso não é possível.

Portanto: [tex3]r=\frac{7-2\sqrt{6}}{25}R[/tex3]

Acho que é isso.

Falow!