IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1987) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A menor solução positiva da equação [tex3]sen9x+sen5x+2sen^2x=1[/tex3] é:

(A) [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3].
(B) [tex3]\frac{3\pi}{84}[/tex3].
(C) [tex3]\frac{\pi}{42}[/tex3].
(D) [tex3]\frac{\pi}{84}[/tex3].
(E) [tex3]\frac{\pi}{294}[/tex3].

[Auto Excluído (ID:3002)]

[tex3]sen9x+sen5x+2sen^2x=1[/tex3]
[tex3](sen9x+sen5x)-(1-2sen^2x)=0[/tex3]
[tex3]2sen(\frac{9x+5x}{2})cos(\frac{9x-5x}{2})-cos2x=0[/tex3]
[tex3]2sen7xcos2x-cos2x=0[/tex3]
[tex3]cos2x(2sen7x-1)=0[/tex3]
Daí, temos duas possibilidades:
1ª) [tex3]cos2x=0[/tex3]
[tex3]2x=\frac{\pi}{2}+k \pi[/tex3]
[tex3]x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}[/tex3]
Onde seu menor valor é [tex3]x=\frac{\pi}{4}[/tex3]

2ª) [tex3]sen7x=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]7x=\frac{\pi}{6}+2k \pi[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]x=\frac{\pi}{42}+\frac{2k \pi}{7}[/tex3]

ou

[tex3]7x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k \pi[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]x=\frac{5\pi}{42}+\frac{2k \pi}{7}[/tex3]

Onde o menor valor assumido para esta possibilidade é [tex3]x=\frac{\pi}{42}[/tex3]

Portanto a menor solução positiva é [tex3]x=\frac{\pi}{42}[/tex3]

Resposta: letra c