IME / ITA ⇒ (ITA - 1997) Geometria Analítica: Reta Tópico resolvido

[dettymp]

Considere os pontos [tex3]A(0,0), B(2,0)[/tex3] e [tex3]C(0,3).[/tex3] Seja [tex3]P(x,y)[/tex3] o ponto de intersecção das bissetrizes internas do triângulo [tex3]ABC.[/tex3] Então [tex3]x+y[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{12}{(5+\sqrt {13})}[/tex3]
b) [tex3]\frac{8}{(2+\sqrt {11})}[/tex3]
c) [tex3]\frac{10}{(6+\sqrt {13})}[/tex3]
d) [tex3]5[/tex3]
e) [tex3]2[/tex3]

[Alexandre_SC]

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Consideremos [tex3]D[/tex3] o ponto de intersecção entre a bissetriz do ângulo [tex3]A\hat{B}C[/tex3] e a reta [tex3]AC.[/tex3] Como o ângulo [tex3]\hat{A}[/tex3] é reto, [tex3]B\hat{A}P=45^\circ[/tex3] e a equação da reta [tex3]AP[/tex3] é [tex3]y=x[/tex3] ([tex3]A[/tex3] é a origem do plano cartesiano).

Pelo Teorema da Bissetriz Interna,

• [tex3]\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} = \frac{\overline{CB}}{\overline{CD}}[/tex3]

Pelo Teorema de Pitágoras, segue que

• [tex3]\overline{CB}^2=\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2[/tex3]
  [tex3]\overline{CB}^2 = 4+9 = 13[/tex3]
  [tex3]\overline{CB} = \sqrt{13}[/tex3].

Portanto,

• [tex3]\frac{ 2}{\overline{AD}}= \frac{\sqrt{13}}{3-\overline{AD}}[/tex3]
  
  [tex3]6-2\overline{AD} = \sqrt{13}\overline{AD}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{6}{\sqrt{13}+2} = \overline{AD}[/tex3]
  
  [tex3]D = (0,\overline{AD})[/tex3]

Agora vamos determinar a equação da reta [tex3]BD:[/tex3]

• [tex3]\left|\begin{array}{cccc} 2 & 0 & x & 2 \\ 0 & \frac{6}{\sqrt{13}+2} & y & 0 \end{array}\right|=0[/tex3]
  
  [tex3]\frac{12}{\sqrt{13}+2}-\frac{6x}{\sqrt{13}+2}-2y = 0[/tex3]
  
  [tex3]y = \frac{6}{\sqrt{13}+2}-\frac{3x}{\sqrt{13}+2}[/tex3]

Como [tex3]P[/tex3] pertence à reta [tex3]y=x,[/tex3]

• [tex3]x = \frac{6}{\sqrt{13}+2}-\frac{3x}{\sqrt{13}+2}[/tex3]
  
  [tex3]\(\frac{3}{\sqrt{13}+2}+1\)x = \frac{6}{\sqrt{13}+2}[/tex3]
  
  [tex3]x = \frac{6}{\sqrt{13}+2}\cdot \frac{\sqrt{13}+2}{\sqrt{13}+5}[/tex3]
  
  [tex3]x = \frac{6}{\sqrt{13}+2}\cdot \frac{\sqrt{13}+2}{\sqrt{13}+5}[/tex3]
  
  [tex3]x = \frac{6}{\sqrt{13}+5}[/tex3]

como [tex3]x = y, x + y = 2x[/tex3]

[tex3]\boxed{\text{A}}[/tex3]