IME / ITA ⇒ (AMAN - 2005) Plano de Argand-Gauss Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A medida da menor área delimitada pelas representações geométricas no plano de Argand-Gauss dos subconjuntos [tex3]A=\{z \in \mathbb{C}\mid-2+i|=3\}[/tex3] e [tex3]B=\{z \in \mathbb{C}/Im(z)=\frac{1}{2}\}[/tex3], é

(A) [tex3]3\pi-\sqrt{3}[/tex3].
(B) [tex3]\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{2}[/tex3].
(C) [tex3]\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{4}[/tex3].
(D) [tex3]\frac{3(4\pi-3\sqrt{3})}{2}[/tex3].
(E) [tex3]\frac{3(4\pi-3\sqrt{3})}{4}[/tex3].

[Auto Excluído (ID:3002)]

FILIP.jpg (14.76 KiB) Exibido 1449 vezes

Como [tex3]A=\{z \in \mathbb{C}\mid-2+i|=3\}[/tex3] então [tex3]A[/tex3] representa o conjunto dos pontos que pertencem a circunferência de raio [tex3]R=3[/tex3] e centro [tex3]C=(2,-1)[/tex3].
Como [tex3]B=\{z \in \mathbb{C}/Im(z)=\frac{1}{2}\}[/tex3] então [tex3]B[/tex3] representa o conjunto dos pontos sobre a reta paralela ao eixo real que passa pelo ponto [tex3]T=\(0,\frac{1}{2}\)[/tex3].

Escrevendo a equação da circunferência temos:
[tex3](x-2)^2+(y+1)^2=9[/tex3]

Calculemos agora os pontos [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3].
Substituindo o valor de [tex3]y=\frac{1}{2}[/tex3] na equação da circunferência obtemos:
[tex3](x-2)^2+\(\frac{1}{2}+1\)^2=9[/tex3]
Resolvendo: [tex3]x_P=2-\frac{3\sqrt3}{2}[/tex3] e [tex3]x_Q=2+\frac{3\sqrt3}{2}[/tex3]

Assim [tex3]PQ=x_Q-x_P=3\sqrt3[/tex3].

Aplicando a lei do cosseno ao triângulo [tex3]PCQ[/tex3] tem-se:

[tex3]\(3\sqrt3\)^2=3^2+3^2-2 \times 3 \times 3 \times \cos (P \hat{C} Q)[/tex3]
[tex3]\cos (P \hat{C} Q)=\frac{{-}1}{2} \rightarrow P \hat{C} Q= \frac{2 \pi}{3}[/tex3]

Logo a menor área delimitada pelas representações geométricas no plano de Argand-Gauss dos subconjuntos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] vale:

[tex3]\frac{3^2 \times \frac{2 \pi}{3}}{2}-\frac{3^2\sen \(\frac{2 \pi}{3}\)}{2}=\frac{3\(4 \pi-3\sqrt3\)}{4}[/tex3]

Resposta: letra e

[PréIteano]

Alguém saberia refazer a imagem da questão?

[PedroCunha]

Olá, PréIteano.

Seja [tex3]z = a+bi[/tex3]. Vamos encontrar os subconjuntos:

A:

[tex3]|z-2+i| = 3 \therefore |(a-2) + i\cdot (b+1) | = 3 \Leftrightarrow (a-2)^2 + (b+1)^2 = 3^2[/tex3]

Circunferência de centro [tex3]C(2,-1)[/tex3] e raio [tex3]3[/tex3].

B:

[tex3]Im(z) = \frac{1}{2} \therefore b = \frac{1}{2}[/tex3]

Reta paralela ao eixo real (eixo x no plano cartesiano).

Jogando tudo em um desenho:

aman.png (12.47 KiB) Exibido 1490 vezes

A parte tracejada em azul é a área pedida.

Abraços,
Pedro