Olimpíadas ⇒ (Bulgária - 2005) Teoria dos Números

[rean]

Ache todas as triplas de inteiros positivos [tex3]( x, y, z)[/tex3] tais que

• [tex3]\sqrt{\frac{2005}{x+y}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}+\sqrt{\frac{2005}{z+x}},[/tex3]

também seja um inteiro.

[Auto Excluído (ID: 25040)]

acho que tem um erro no enunciado, alguém consegue achar o problema original? não estou achando

[Ittalo25MOD]

O enunciado tá certo. Acho que um ideia natural é tentar se livrar dessas raízes e ver no que dá:

[tex3]\begin{cases}
\frac{2005}{x+y}=a \\
\frac{2005}{x+z}=b \\
\frac{2005}{y+z}=c
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{2005}{x+y}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}+\sqrt{\frac{2005}{z+x}} = k[/tex3]
[tex3]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} = k[/tex3]
[tex3]a+b+c+2\cdot (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}) = k^2[/tex3]
Então [tex3](\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})[/tex3] é racional, digamos q:
[tex3]\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac} = q[/tex3]
[tex3]ab+ac+bc+2\cdot \sqrt{abc}\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) = q^2[/tex3]
Então [tex3]\sqrt{abc}[/tex3] é racional também

Então:
[tex3]\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac} = q[/tex3]
[tex3]\sqrt{a}\cdot ( \sqrt{b}+\sqrt{c})+\frac{\sqrt{abc}}{\sqrt{a}} = q[/tex3]
[tex3]\sqrt{a}\cdot (k-\sqrt{a})+\frac{\sqrt{abc}}{\sqrt{a}} = q[/tex3]
[tex3]\sqrt{a}\cdot (k+\frac{\sqrt{abc}}{a})-a = q[/tex3]
Como é tudo racional, então [tex3]\sqrt{a}[/tex3] é racional também. Analogamente [tex3]\sqrt{b}[/tex3] e [tex3]\sqrt{c}[/tex3] são racionais também.

Agora:
[tex3]2005 = 5\cdot 401[/tex3], para [tex3]\sqrt{a}=\sqrt{\frac{2005}{x+y}}[/tex3] ser racional, devemos ter: [tex3]x+y = 2005w^2 [/tex3], analogamente:

[tex3]\sqrt{\frac{2005}{x+y}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}+\sqrt{\frac{2005}{z+x}} = \frac{1}{w}+\frac{1}{v}+\frac{1}{t}[/tex3]

Então o problema se transforma em [tex3]\frac{1}{w}+\frac{1}{v}+\frac{1}{t}[/tex3] ser um número inteiro

[Ittalo25MOD]

Para [tex3]\frac{1}{w}+\frac{1}{v}+\frac{1}{t}[/tex3] ser um número inteiro

Primeiro caso: [tex3]w=v=t[/tex3]
[tex3]\frac{1}{w}+\frac{1}{v}+\frac{1}{t} = \frac{3}{v}\rightarrow v \in \{1,3\}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x+y=2005 \\
x+z=2005 \\
z+y=2005
\end{cases}[/tex3]
Sem solução inteira

[tex3]\begin{cases}
x+y=2005\cdot 3^2 \\
x+z=2005\cdot 3^2 \\
z+y=2005 \cdot 3^2
\end{cases}[/tex3]
Sem solução inteira

Segundo caso: [tex3]w< v< t[/tex3]
[tex3]1 \leq \frac{1}{w}+\frac{1}{v}+\frac{1}{t} < \frac{3}{w}[/tex3], portanto [tex3]w \in \{1,2\}[/tex3]
Se [tex3]w=1 [/tex3], então: [tex3]\frac{1}{v}+\frac{1}{t}\leq\frac{1}{2}+\frac{1}{3} < 1[/tex3]. Impossível
Então [tex3]w=2 [/tex3]
Se [tex3]v \geq 4[/tex3], então: [tex3]\frac{1}{v}+\frac{1}{t} < \frac{2}{4}[/tex3], então a soma não seria inteira.
Portanto [tex3]w=2 [/tex3], [tex3]v = 3 [/tex3], [tex3]t=6 [/tex3]. Portanto:
[tex3]\begin{cases}
x+y=2005\cdot 2^2 \\
x+z=2005\cdot 3^2 \\
z+y=2005 \cdot 6^2
\end{cases}[/tex3]
Sem solução inteira.

terceiro caso: [tex3]w= v< t[/tex3]
[tex3]1\leq \frac{2}{v} + \frac{1}{t} < \frac{3}{v} \rightarrow v \in \{1,2\}[/tex3]
Se [tex3]v=w=1 [/tex3], então [tex3]\frac{1}{w}+\frac{1}{v}+\frac{1}{t} = 2+\frac{1}{t}\rightarrow t = 1[/tex3], contradição já que [tex3]w= v< t[/tex3]

Se Se [tex3]v=w=2 [/tex3], então [tex3]\frac{1}{w}+\frac{1}{v}+\frac{1}{t} = 1+\frac{1}{t}\rightarrow t = 1[/tex3], contradição já que [tex3]w= v< t[/tex3]

última caso: [tex3]w= v> t[/tex3]
[tex3]1\leq \frac{2}{v} + \frac{1}{t} < \frac{3}{t} \rightarrow t \in \{1,2\}[/tex3]
Se [tex3]t= 1[/tex3], então [tex3]w=v = 2 [/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x+y=2005\cdot 2^2 \\
x+z=2005\cdot 2^2 \\
z+y=2005 \cdot 1^2
\end{cases}[/tex3]
Sem solução inteira.

Se [tex3]t= 2[/tex3], então [tex3]w=v = 4 [/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x+y=2005\cdot 2^2 \\
x+z=2005\cdot 4^2 \\
z+y=2005 \cdot 4^2
\end{cases}[/tex3]
Única solução: [tex3]\boxed{(x,y,z) = (4010,4010,28070) }[/tex3] e suas permutações