Demonstrações ⇒ (Demonstração) DIstancia entre o Circuncentro e o Ortocentro

[jvmago]

Esboçe um [tex3]\Delta ABC[/tex3] qualquer tal que [tex3]R,r[/tex3] são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivamente, [tex3]O[/tex3] o circuncentro,[tex3]AB=c,AC=b,BC=a[/tex3] e [tex3]H[/tex3] o ortocentro PARTIU!!

PEDS-SE [tex3]OH=x[/tex3]

Trace as alturas [tex3]BM[/tex3] e [tex3]CP[/tex3]

Prolongue [tex3]HC[/tex3] até [tex3]P(Q)[/tex3] que está na circunferencia, note que [tex3]AcP=HbP=PbQ[/tex3] então [tex3]BH=BQ[/tex3] tal que [tex3]HQ=2HP=2y[/tex3]

Potencia de ponto em [tex3]H[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=HC*HQ[/tex3]

[tex3]R^2-x^2=2m*2y[/tex3]

[tex3]R^2-x^2=4my[/tex3]

Traçando [tex3]AO=R[/tex3] e [tex3]OD=m[/tex3] perpendicular a [tex3]AB[/tex3], temos que pelo teorema do ortocentro, [tex3]HC=2m[/tex3] e [tex3]\Delta AOD[/tex3] ~[tex3]\Delta ACN[/tex3] PORTANTO

[tex3]\frac{m}{CN}=\frac{R}{b}[/tex3]

Aplicando pitagoras em [tex3]\Delta ACN[/tex3]

[tex3]CN²=\frac{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a²}[/tex3]

[tex3]m=\frac{R\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{ab}[/tex3] assim usando o teorema da altura temos

[tex3]y=h_c-m[/tex3]
[tex3]y=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}-\frac{2R\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{ab}[/tex3]

sabemos que [tex3]\frac{abc}{4R}=\frac{c*h_c}{2}[/tex3] e [tex3]h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}[/tex3]

[tex3]y=h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c}[/tex3] POR FIM

[tex3]x^2=R^2-4*\frac{R\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{ab}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c})[/tex3]

[tex3]x^2=R^2-4*\frac{1*\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{2h_c}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c})[/tex3]

[tex3]x^2=R^2-\frac{2\sqrt{(a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)})}{h_c}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)}}{h_c})[/tex3] ISSO DE MANEIRA GENERALIZADA

[tex3]h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}[/tex3]

[tex3]h^2_c*c²=4p(p-a)(p-b)(p-c)[/tex3]

[tex3]x^2=R^2-\frac{2\sqrt{(a^2b^2-c²h^2_c})}{h_c}*(h_c-\frac{\sqrt{a^2b^2-c²h^2}}{h_c})[/tex3]

----------------------EXTRA------------------------

Pela reta de Euler [tex3]OH=2GO[/tex3] usando viewtopic.php?f=2&t=82990

[tex3]OH=\sqrt{\frac{2(9R²-2p²+8Rr+2r²)}{9}}=\sqrt{2(R²-\frac{(a^2+b^2+c²)}{9}}[/tex3]

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Demonstração por complexos/analítica

Sejam três pontos A(a), B(b), C(c) não colineares
Assumindo que o circuncentro O é a origem do plano complexo, a coordenada de H é [tex3]Z_h=a+b+c[/tex3]
Usando o produto real podemos escrever
[tex3]OH^2=|Z_h|^2=(a+b+c)(a+b+c)=\sum_{cyc}^{}|a|^2+2\sum_{cyc}^{}a\bullet b=3R^2+2\sum_{cyc}^{}a\bullet b[/tex3]
Onde [tex3]a\bullet b=\frac{\overline{a}b+a\overline{b}}{2}[/tex3] é o produto real entre dois complexos

Mas pelo corolário:
Em qualquer triângulO ABC, as seguintes fórmulas são válidas:
[tex3]\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2=2(p^2-r^2-4Rr)\\
\alpha ^3+\beta ^3+\gamma ^3=2p(p^2-3r^2-6Rr)[/tex3]
onde alfa, beta e gama são os lados do triângulo ABC e p é o semiperímetro

[tex3]OH^2=9R^2-(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)\\
OH^2=9R^2+2r^2+8Rr-2p^2[/tex3]