Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial: Cilindro e Prisma Tópico resolvido

[marcalledo]

Mário e Paulo possuem piscinas em suas casas. Ambas têm a mesma profundidade e bases com o mesmo perímetro. A piscina de Mário é um cilindro circular reto e a de Paulo é um prisma reto de base quadrada. A companhia de água da cidade cobra R$ 1,00 por metro cúbico de água consumida. Com base nas informações acima, julgue os itens que se seguem:

I. O volume da piscina de Mário é maior do que o volume da piscina de Paulo.

II. Atendendo a um pedido da família, Mário resolve duplicar o perímetro da base e a profundidade de sua piscina, mantendo, porém, a forma circular. Pode-se afirmar que Mário pagará R$ 400,00 pela água para encher a nova piscina, sabendo que anteriormente ele gastava R$ 50,00.

III. Se o raio da base da piscina de Mário for igual a 3 m, o perímetro da base da piscina de Paulo será igual a 18,84m.

IV. Mário pagará mais para encher sua piscina.

V. A razão entre os volumes da piscina de Mário e a de Paulo é superior a 1,

[Thales Gheós]

1) comparando perímetros:

1.1 da base (circular) do cilindro: [tex3]P=2\pi{r}[/tex3]

1.2 da base quadrada do prisma: [tex3]P=4a[/tex3]

[tex3]2\pi{r}=4a\rightarrow a=\frac{\pi{r}}{2}[/tex3]

2) verificando volumes:

2.1 do cilindro: [tex3]V_c=\pi{r^2}\cdot h[/tex3]

2.2 do prisma: [tex3]V_p=a^2\cdot h\rightarrow V_p=\frac{\pi^2{r^2}h}{4}[/tex3]

3) comparando volumes:

[tex3]V_p-V_c=\pi{r^2}\cdot h-\frac{\pi^2{r^2}}{4}[/tex3]

[tex3]V_p-V_c=\pi{r^2}h\(1-\frac{1}{4}\) \rightarrow V_p-V_c\gt0\rightarrow{V_p}\gt{V_c}[/tex3]

I. O volume da piscina de Mário é maior do que o volume da piscina de Paulo. -> FALSO

II. Atendendo a um pedido da família, Mário resolve duplicar o perímetro da base e a profundidade de sua piscina, mantendo, porém, a forma circular. Pode-se afirmar que Mário pagará R$ 400,00 pela água para encher a nova piscina, sabendo que anteriormente ele gastava R$ 50,00.

duplicando o perímetro temos um novo raio [tex3]r_2=2r_1[/tex3]

duplicando a profundidade o novo volume é: [tex3]\pi (2r)^2\cdot 2h\rightarrow{V_2}=8V_1[/tex3]

[tex3]8\cdot{50}=400[/tex3] -> VERDADEIRO

III. Se o raio da base da piscina de Mário for igual a 3 m, o perímetro da base da piscina de Paulo será igual a 18,84m

[tex3]2\pi{r}=4a\rightarrow a=\frac{\pi{r}}{2}[/tex3]

[tex3]2\pi{r}=4\(\frac{3,14({3})}{2}\)\rightarrow P=18,84[/tex3] -> VERDADEIRO