Pré-Vestibular ⇒ Função quadrática/UFSCar-SP Tópico resolvido

[Harison]

A parábola determinada pela função f:[tex3]\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex3] tal que f(x)=ax²+bx+c,com a [tex3]\neq [/tex3] 0,tem vértice de coordenadas(4,2).Se o ponto de coordenadas(2,0) pertence ao gráfico dessa função,então o produto a•b•c é igual a:

A)-12

B)-6

C)0

D)6

E)12

Resposta

---

E

[Harison]

@Harison ,

O vértice de uma função quadrática tem a seguinte relação com os coeficientes:
[tex3]x_v=-\frac{b}{2a}[/tex3]
[tex3]4.2a=-b[/tex3]
[tex3]b=-8a[/tex3]

Utilizando agora da coordenada y do vértice:
[tex3]y_v=-\frac{b^{2}-4.a.c}{4a}[/tex3]
[tex3]2.4.a=-(b^2-4.a.c)[/tex3]
[tex3]-8a=b^{2}-4.a.c[/tex3]

Substituindo as informações que encontramos até agora:
[tex3]-8a=(-8a)^{2}-4.a.c[/tex3]
[tex3]-8a=64a^{2}-4.a.c[/tex3]
[tex3]4.a.c=8.a.(8.a+1)[/tex3]
[tex3]c=16a+2[/tex3]

Utilizando a coordenada [tex3](2,0):[/tex3]
[tex3]4a+2b+c=0[/tex3]
[tex3]4a-16a+16a+2=0[/tex3]
[tex3]a=-\frac{1}{2}[/tex3]

Substituindo nas outras equações:
[tex3]b=-8a[/tex3]
[tex3]b=4[/tex3]

[tex3]c=16a+2[/tex3]
[tex3]c=-6[/tex3]

Portanto, como o exercício pede o produto entre os coeficientes:
[tex3]\left(-\frac{1}{2}\right).4.(-6)[/tex3]

[tex3]{\color{red}\boxed{=12}}[/tex3]