Olimpíadas ⇒ (OCM) Equações e funções logarítmicas

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Seja f uma função real de variável real satisfazendo a equação
[tex3]e^{f(x)}+e^{-f(x)}-2x=0[/tex3]
a) Determine o domínio de f
b) Se f(x) é maior ou igual a zero para todo x em seu domínio, determine a única função f satisfazendo a equação dada

Resposta

---

a) [tex3]x\geq 1[/tex3]
b) [tex3]f(x)=ln(x+\sqrt{x^2-1})[/tex3]

[undefinied3]

a) [tex3]exp(f(x))+\frac{1}{exp(f(x))}=2x \rightarrow exp(2f(x))-2x.exp(f(x))+1=0[/tex3]
[tex3]t^2-2xt+1=0 \rightarrow t=x \pm \sqrt{x^2-1} \rightarrow exp(f(x)) = x \pm \sqrt{x^2-1}[/tex3]

Lembrando que exponenciais são positivas, então [tex3]x \pm \sqrt{x^2-1}>0 \rightarrow x\geq 1[/tex3]

b) Tirando o log da expressão obtida, [tex3]f(x) = ln(x \pm \sqrt{x^2-1}) \geq 0[/tex3] para todo [tex3]x \geq 1[/tex3]
[tex3]ln(x \pm \sqrt{x^2-1}) \geq 0 \rightarrow x \pm \sqrt{x^2-1} \geq 1[/tex3]
Se você analisar [tex3]x-\sqrt{x^2-1} \geq 1[/tex3], vai obter solução única [tex3]x=1[/tex3], ou seja, não vale para todo domínio de f.
Se você analisar [tex3]x+\sqrt{x^2-1} \geq 1[/tex3], vai obter exatamente [tex3]x \geq 1[/tex3], que cobre todo domínio de f.

Então [tex3]f(x)=ln(x+\sqrt{x^2-1})[/tex3]