Ensino Médio ⇒ (FB) Funções: Composta e Inversa Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Seja [tex3]f_1(x)=1+\frac{1}{x}[/tex3] e [tex3]f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))[/tex3] para todo n inteiro positivo. Escrevendo [tex3]f_{2013}(x)[/tex3] na forma [tex3]\frac{ax+b}{cx+d}[/tex3], podemos afirmar que o valor de a+b+c+d é:
a) [tex3]F_{2013}[/tex3]
b) [tex3]F_{2014}[/tex3]
c) [tex3]F_{2015}[/tex3]
d) [tex3]F_{2016}[/tex3]
e) nda

Obs.: a sequência [tex3]F_k[/tex3] é definida por [tex3]F_1=F_2=1 [/tex3] e, para [tex3]k\geq 3[/tex3], [tex3]F_k=F_{k-1}+F_{k-2}[/tex3]

Resposta

---

E

[Ittalo25MOD]

[tex3]f_{2}(x)= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}} = \frac{2x+1}{x+1}[/tex3]
[tex3]f_{3}(x)= 1+\frac{1}{ \frac{2x+1}{x+1}} =\frac{3x+2}{2x+1} [/tex3]
[tex3]f_{4}(x)= 1+\frac{1}{ \frac{3x+2}{2x+1}} =\frac{5x+3}{3x+2} [/tex3]
[tex3]f_{5}(x)= 1+\frac{1}{ \frac{5x+3}{3x+2}} =\frac{8x+5}{5x+3} [/tex3]

O padrão parece ser:
[tex3]f_{k}(x) =\frac{F_{k+1}\cdot x+F_k}{F_k\cdot x+F_{k-1}} [/tex3]

Por indução:
[tex3]f_{k}(x) =\frac{F_{k+1}\cdot x+F_k}{F_k\cdot x+F_{k-1}} [/tex3]
[tex3]f_{k+1}(x) =1+\frac{1}{\frac{F_{k+1}\cdot x+F_k}{F_k\cdot x+F_{k-1}}} [/tex3]
[tex3]f_{k+1}(x) =\frac{F_{k+2}\cdot x+F_{k+1}}{F_{k+1}\cdot x+F_k}[/tex3]

Então ok

[tex3]f_{2013}(x) =\frac{F_{2014}\cdot x+F_{2013}}{F_{2013}\cdot x+F_{2012}} [/tex3]

Portanto:
[tex3]a+b+c+d = F_{2014}+F_{2013}+F_{2013}+F_{2012} = F_{2015}+ F_{2014} = \boxed{F_{2016}} [/tex3]