Ensino Médio ⇒ (FB) Funções: Composta e Inversa Tópico resolvido

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Encontre todas as funções [tex3]f:\mathbb{R}-[-1;1]\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] satisfazendo
[tex3]f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{3+x}{x-1}\right)=x[/tex3] para qualquer x diferente de 1 e -1

OBS: O domínio é R - {-1;1}, mas não consegui colocar a chave. Não é um intervalo, igual está ali em cima.

Resposta

---

Não existe uma função assim

[Ittalo25MOD]

Trocando [tex3]\frac{3+x}{x-1} \rightarrow a [/tex3]

[tex3]f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{3+x}{x-1}\right)=x[/tex3]
[tex3]f\left(\frac{\frac{3+a}{a-1}-3}{\frac{3+a}{a-1}+1}\right)+f(a)=\frac{3+a}{a-1}[/tex3]
[tex3]f\left(\frac{6-2a}{2a+2}\right)+f(a)=\frac{3+a}{a-1}[/tex3]

Trocando [tex3]\frac{x-3}{x+1} \rightarrow a [/tex3]
[tex3]f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+f\left(\frac{3+x}{x-1}\right)=x[/tex3]
[tex3]f(a)+f\left(\frac{3+\frac{a+3}{1-a}}{\frac{a+3}{1-a}-1}\right)=\frac{a+3}{1-a}[/tex3]
[tex3]f(a)+f\left(\frac{6-2a}{2a+2}\right)=\frac{a+3}{1-a}[/tex3]

Então devemos ter:
[tex3]\frac{a+3}{1-a}=\frac{3+a}{a-1} [/tex3]
Isso só vale se [tex3]a=-3 [/tex3]
mas o domínio da função é os reais, contradição.

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POTI - Nivel 2

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