Ensino Médio ⇒ (FB) Funções: Composta e Inversa

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Seja D o conjunto dos números complexos com módulo menor que 1. Considere a função [tex3]f:D\rightarrow C-[1][/tex3] dada por [tex3]f(z)=\frac{z-i}{z+i}[/tex3]. Mostre que a parte imaginária de [tex3]f\circ f[/tex3] é positiva.

OBS: O contradomínio ali em cima é Complexos - {1}

[Ittalo25MOD]

[tex3]f(f(z))= \frac{ \frac{z-i}{z+i}-i}{ \frac{z-i}{z+i}+i}[/tex3]
[tex3]f(f(z))= \frac{ z+1-i\cdot(z+1)}{z-1+i\cdot(z-1) }[/tex3]

Fazendo: [tex3]z = a+bi [/tex3]

[tex3]f(f(z))= \frac{a+ib+1}{ia-b-i}[/tex3]
[tex3]Im(f(f(z)))= \frac{(1-a) \cdot (a+1+b^2)}{b^2+(a-1)^2}[/tex3]

Se [tex3]1<a [/tex3], então:
[tex3]1<a^2 [/tex3]
[tex3]1<a^2+b^2 [/tex3]
[tex3]1< |z| [/tex3]
contradição

Também:
[tex3]a^2+b^2 <1 [/tex3]
[tex3]|a| < 1 [/tex3]
[tex3]-1 < a < 1 [/tex3]
[tex3]0< b^2 < a+1+b^2 < 2+b^2 [/tex3]