IME / ITA ⇒ (EFOMM - 1994) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Se [tex3]sen2a=x[/tex3] e [tex3]sen2b=y[/tex3], então [tex3]sen(a+b)cos(a-b)[/tex3] é igual a:

a) [tex3]x+y[/tex3].
b) [tex3]2(x+y)[/tex3].
c) [tex3]x-y[/tex3].
d) [tex3]x^2+y^2[/tex3].
e) [tex3]\frac{x+y}{2}[/tex3].

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

[tex3]sen2a= 2sena.cosa[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

[tex3]sen2a= x \Rightarrow[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Igualando [tex3](i)[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3] temos:

[tex3]2sena.cosa=x \Rightarrow sena.cosa= \frac{x}{2}[/tex3]

De maneira análoga temos:

[tex3]senb.cosb= \frac{y}{2}[/tex3]

[tex3]sen(a+b)= sena.cosb+senb.cosa[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]

[tex3]cos(a-b)= cosa.cosb+sena.senb[/tex3] [tex3](iv)[/tex3]

Cálculo do [tex3]sen(a-b)cos(a-b)[/tex3] :

[tex3]sena.cosa.cos^2b+senb.cosb.sen^2a+senb.cosb.cos^2a+sena.cosa.sen^2b[/tex3]

[tex3]\Rightarrow sena.cosa(sen^2b+cos^2b)+senb.cosb(sen^2a+cos^2a)[/tex3]

Como [tex3]sen^2b+cos^2b=1[/tex3] e [tex3]sen^2a+cos^2a=1[/tex3] temos:

[tex3]sen(a+b)cos(a-b)= sena.cosa+senb.cosb \Rightarrow sen(a+b)cos(a-b)= \frac{x+y}{2}[/tex3]

Alternativa: e