Ensino Fundamental ⇒ Raio da circunferência inscrita. Tópico resolvido

[geobson]

Na figura, r=2 e AC=12. Calcule o raio da circunferência inscrita no triângulo ABC.
A)2,5
B)3
C)4
D)4,5
E)6

Resposta

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B

[Jvrextrue13]

Circunferência que tangencia AB e AC:[tex3]C_1[/tex3] com centro [tex3]O_1[/tex3]
Circunferência que tangencia BC e AC:[tex3]C_2[/tex3] com centro [tex3]O_2[/tex3]
Chamando os pontos de tangencia das duas circunferências [tex3]C_1,C_2[/tex3] em AC de [tex3]D,E[/tex3] respectivamente, temos que:
[tex3]AC = 2r + AD + EC\\12=2(2)+AD + EC\\8 = AD+EC[/tex3]

Agora, veja que ao prolongar [tex3]AO_1[/tex3], e ao prolongar [tex3]CO_2[/tex3], eles irão bater justamente no incentro [tex3]I[/tex3] do triângulo [tex3]ABC[/tex3], uma vez que esses dois segmentos são bissetrizes. Agora, nesse ponto [tex3]I[/tex3], tracemos a perpendicular a [tex3]AC[/tex3], batendo em [tex3]P[/tex3]. É fácil ver que o seguintes triangulos são semelhantes:
[tex3]\Delta AIP[/tex3] e [tex3]\Delta AO_1D[/tex3]
[tex3]\frac{r_i}{r}=\frac{AP}{AD}[/tex3]
[tex3]\Delta CIP[/tex3] e [tex3]\Delta CO_2E[/tex3]
[tex3]\frac{r_i}{r}=\frac{CP}{EC}[/tex3]

Das ultimas duas frações, obtemos:
[tex3]\frac{r_i}{r}=\frac{AP+CP}{AD+EC}[/tex3]
Por propriedade de circunferências inscritas, sabemos que:
[tex3]AP = p-BC\\CP=p-AB[/tex3]
Com p = semiperímetro, daí:
[tex3]\frac{r_i}{r}=\frac{AP+CP}{AD+EC}=\frac{2p-AB-BC}{AD+EC}=\frac{AC}{AD+EC}\\\frac{r_i}{2}=\frac{12}{8}\\r_i=3[/tex3]

[geobson]

Jvrextrue13, muito boa sua solução. Obrigado.