Ensino Médio ⇒ Aritmética (Elementos da Matemática- Rufino) Tópico resolvido

[MilkShake]

Consideramos os números inteiros de 1 a 1000 inclusive. Somemos entre si todos os que tem todos os seus dígitos pares e somemos entre si todos os que tem todos seus dígitos ímpares. Qual soma é maior?

Resposta

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Ímpares

[παθμ]

MilkShake, vamos calcular primeiro a soma dos que têm todos os algarismos ímprares:

De 1 a 9:

[tex3]S_I=1+3+5+7+9=25.[/tex3]

De 10 a 99:

Veja que há no total [tex3]5^2=25[/tex3] desses números. Exatamente 5 começam com o algarismo 1, 5 começam com o algarismo 3, assim por diante. Da mesma forma, cinco terminam com 1, cinco terminam com 2, etc...

Então a soma de todos eles é [tex3]50 \cdot 1+50 \cdot 3+...+50 \cdot 9+5 \cdot 1+5 \cdot 3+...+5 \cdot 9=1375.[/tex3]

[tex3]S_I=25+1375=1400.[/tex3]

De 100 a 999:

Há no total [tex3]5^3=125[/tex3] desses números. 25 deles começarão com 1, 25 começarão com 3, ...

25 terão 1 como algarismo do meio, 25 terão 3 como algarismo do meio...

25 terão 1 como último algarismo, 25 terão 3 como último algarismo...

Então a soma fica [tex3]2500 \cdot 1+2500 \cdot 3+...2500 \cdot 9+250 \cdot 1+250 \cdot 3+...+250 \cdot 9+25 \cdot 1+25 \cdot 3+...+25 \cdot 9=2775(1+3+5+7+9)=69375.[/tex3]

Então finalmente, a soma de todos os números com todos os algarismos ímpares é [tex3]\boxed{S_I=1400+69375=70775}[/tex3]


Calcular a soma dos números com todos os algarismos pares é um pouco mais fácil. Nós podemos contabilizar logo de cara os números com "3 algarismos", distribuindo os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8. Podemos fazer isso porque os zeros à esquerda farão surgir os números com menos de 3 algarismos. Daí não precisamos separar em intervalos como no cálculo anterior.

Há [tex3]5^3=125[/tex3] números. 25 começarão com 0, 25 começarão com 2...

Acredito que já deu pra entender.

[tex3]\boxed{S_P=2775(2+4+6+8)=55500}[/tex3]

Temos então [tex3]\boxed{\boxed{S_I>S_P}}[/tex3]