Olimpíadas ⇒ (Balcânica Júnior) Fatoração Tópico resolvido

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Sejam x e y números inteiros tais que [tex3]x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000[/tex3]
Calcule o valor de x+y

Resposta

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10

[Ittalo25MOD]

[tex3]x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000[/tex3]
[tex3](x+y)(x^2+y^2-xy)+(x+y)^3+30xy=2000[/tex3]
[tex3](x+y)((x+y)^2-3xy)+(x+y)^3+30xy=2000[/tex3]
[tex3]-3xy(x+y)+2\cdot (x+y)^3+30xy=2000[/tex3]
[tex3]-3xy(x+y-10)+2\cdot (x+y)^3=2000[/tex3]
[tex3]-3xy(x+y-10)+2\cdot (x+y)^3=2\cdot 10^3[/tex3]
[tex3]-3xy(x+y-10)+2\cdot ((x+y)^3-10^3)=0[/tex3]
[tex3]-3xy(x+y-10)+2\cdot (x+y-10)((x+y)^2+10^2+10x+10y)=0[/tex3]
[tex3](x+y-10)(2\cdot (x+y)^2+2\cdot 10^2+20x+20y-3xy)=0[/tex3]

[tex3]2\cdot (x+y)^2+20\cdot (x+y)-3xy+200=0 [/tex3]
[tex3]2x^2+x\cdot (y+20)+20y+200+2y^2=0 [/tex3]
[tex3]\Delta =(y+20)^2-4 \cdot 2 \cdot ( 20y+200+2y^2) = -15 \cdot (y+4)^2-960 < 0[/tex3]

[tex3]x+y-10=0\rightarrow \boxed{x+y=10}[/tex3]

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