Ensino Fundamental ⇒ Semicírculo e retângulo. Tópico resolvido

[geobson]

ABCD é um retângulo; BC= QA, PQ=3: QM=8;MN=1.calcule CM.
A)1
B)2
C)1,5
D)2,5
E)0,5

Resposta

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A

[geobson]

FelipeMartin, teria um bizu dessa?

[FelipeMartinMOD]

geobson, mmmmmm eu sei fazer nas contas: calcular as potências de Q e M e acho que sei relacionar isso com as alturas QA e MD.

Um jeito esperto eu confesso que não sei.

[FelipeMartinMOD]

geobson, vamos nas contas mesmo. Do começo: [tex3]BC = QA = x[/tex3] (do enunciado) e [tex3]BA = y[/tex3]

[tex3]AO = \frac{BC}2 = \frac x2 \implies QO = x\frac{\sqrt5}2[/tex3].

Potência de [tex3]Q[/tex3]: [tex3]3 \cdot (8+1) = 27 = QB \cdot (2QA+QB) = (y-QA) \cdot ( y + QA) = y^2 - x^2 [/tex3]

logo [tex3]y^2 = 27 + x^2[/tex3]

como [tex3]R^2 = y^2 + (\frac x2)^2 \implies R^2 = 27 + \frac54x^2[/tex3]

precisa de um jeito legal de equacionar a potência de M agora:

Seja [tex3]L[/tex3] o reflexo do ponto [tex3]Q[/tex3] em relação à mediatriz de [tex3]BC[/tex3] (essa mediatriz passa por [tex3]O[/tex3]).

Então [tex3]ML^2 = 64 - x^2[/tex3], pronto: [tex3]MD = \sqrt{64 - x^2} + x[/tex3] da potência de [tex3]M[/tex3]:

[tex3]y^2 - MD^2 = 11 \implies x = \frac45 \sqrt 5 \cdot \sqrt{11 + 2\sqrt{19}}[/tex3]

então

[tex3]y^2 = 27 + x^2 = 27 + \frac{16}5 (11 + 2\sqrt{19}) \implies y = \frac1{\sqrt5} \cdot \sqrt{311 + 32\sqrt{19}}[/tex3]

EDIT, errei a conta, na verdade:

[tex3]CM = \sqrt{\frac15 \cdot (311+32\sqrt{19}))} - 4\sqrt{\frac25(8+\sqrt{19})} \approx 0,598 \approx 0,6[/tex3]

então na verdade, o exercício esperava que usássemos trigonometria pra simplificar as contas. Considerando, provavelmente o ângulo de [tex3]\frac{53^{\circ}}2[/tex3] no [tex3]\triangle QAO[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

geobson, o enunciado está certo ou era pra ser BQ = QA?

[geobson]

FelipeMartin, só um minuto. Vou verificar.

[geobson]

FelipeMartin, está correto.

[geobson]

Deve ter trocado alguma medida , né?

[FelipeMartinMOD]

geobson, então minha resposta acima está correta.

Vou fazer o caso [tex3]BQ=BA = x[/tex3]:

[tex3]3 \cdot (8+1) = x \cdot 3x \iff x = 3 \implies y = 6[/tex3]

a potência de [tex3]M[/tex3]:
[tex3]MD : = z[/tex3]

[tex3]1 \cdot (8+3) = (6-z)(6+z) \iff 11 = 36 - z^2 \iff z = 5 \iff CM = 1[/tex3]

eles trocaram sim

[geobson]

FelipeMartin, obrigado, meu amigo.
Esses problemas são assim mesmo: descobrimos os erros conforme vamos desenrolando o problema , aí consertamos o defeito e o solucionamos. He he é como se fossemos doutores da geometria