Olimpíadas ⇒ (Índia) Polinômios Tópico resolvido

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Calcule o valor da expressão
[tex3]cossec^2\left(\frac{\pi }{14}\right)+cossec^2\left(\frac{3\pi }{14}\right)+cossec^2\left(\frac{5\pi }{14}\right)[/tex3]

Resposta

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OBS: Se possível, usando DIFERENÇAS FINITAS, EQUAÇÕES RECÍPROCAS, MMC E MDC DE POLINÔMIOS.

[Ittalo25MOD]

[tex3]cossec^2\left(\frac{\pi }{14}\right)+cossec^2\left(\frac{3\pi }{14}\right)+cossec^2\left(\frac{5\pi }{14}\right)=[/tex3]
[tex3]3+cot^2\left(\frac{\pi }{14}\right)+cot^2\left(\frac{3\pi }{14}\right)+cot^2\left(\frac{5\pi }{14}\right) = [/tex3]
[tex3]3+cot^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi }{7}\right) +cot^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi }{7}\right) +cot^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi }{7}\right) = [/tex3]
[tex3]3+tan^2\left(\frac{3\pi }{7}\right) +tan^2\left(\frac{2\pi }{7}\right) +tan^2\left(\frac{\pi }{7}\right) [/tex3]

Fazendo: [tex3]a = \frac{\pi}{7}\rightarrow 4a = \pi - 3a[/tex3]
Assim:
[tex3]tan(4a) = tan(\pi-3a) [/tex3]
[tex3]tan(4a) = -tan(3a) [/tex3]
[tex3]\frac{4tan(a)-4tan^3(a)}{1-6tan^2(a)+tan^4(a)}=\frac{tan^3(a)-3tan(a)}{1-3tan^2(a)}[/tex3]
[tex3]tan^6(a)-21tan^4(a)+35tan^2(a)-7=0 [/tex3]
As raízes desse polinômio são: [tex3]\{\pm tan^2\left(\frac{\pi}{7}\right),\pm tan^2\left(\frac{2\pi}{7}\right),\pm tan^2\left(\frac{3\pi}{7}\right)\} [/tex3]
[tex3]tan^3(a)-21tan^2(a)+35tan(a)-7=0 [/tex3]
As raízes desse polinômio são: [tex3]\{tan^2\left(\frac{\pi}{7}\right),tan^2\left(\frac{2\pi}{7}\right), tan^2\left(\frac{3\pi}{7}\right)\} [/tex3]

Portanto:
[tex3]3+tan^2\left(\frac{3\pi }{7}\right) +tan^2\left(\frac{2\pi }{7}\right) +tan^2\left(\frac{\pi }{7}\right)=3+21 = \boxed{24} [/tex3]