Pré-Vestibular ⇒ SIS(2018)-Ponto e Reta

[Polímero17]

Ahhhh sim muito obrigado LostWalker, agora entendi seu raciocínio direitinho que por sinal é bem completo. Parabéns!
Nessa caminhada também encontrei outro método e achei que seria uma boa compartilhar aqui:

Tendo em vista que os pontos A(2,0) e D(0,4) e o ponto de origem O(0,0) formam um triangulo retângulo, conseguimos as seguintes medidas:

De O até o ponto A (cateto oposto) = 2 unidades
De O até o ponto D (cateto adjacente) = 4 unidades
De A até o ponto D (hipotenusa) = 5 unidades ----->>> tbm dá pra calcular com a fórmula da distância entre 2 pontos, pois seria a mesma coisa: d=[tex3]\sqrt({x-x_{0})^{2}}+({y-y_{0})^{2}}[/tex3]

Sabendo disso, basta relacionar essas medidas aos outros 2 triângulos retângulo que podemos formar ao redor do quadrado e descobrir os pontos C e B, para encontrar a equação da reta s: (lembrando que suas hipotenusas sempre serão a medida do lado do quadrado=5).

C(x,y)
no eixo x: (cateto adjacente) = 4 unidades;
no eixo y: 4 (cateto adjacente)+ 2 (cateto oposto)= 6 ----> C(4,6)

B(x,y)
no eixo x: 2 (cateto oposto) + 4 (cateto adjacente)= 6 unidades;
no eixo y: (cateto oposto)= 2 unidades ----> B(6,2)

[tex3]\begin{pmatrix}
x & y & 1 \\
6 & 2 & 1 \\
4 & 6 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

2x+4y+36-8-6x-6y=0
-4x-2y+28=0 [tex3]\div [/tex3](-2)
2x+y-14=0

resposta: B

[Juuh]

Eu não sei se há um modo mais rápido, mas eu fiz assim.

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Vamos definir que o Ponto onde a Reta de [tex3]\overline{AB}[/tex3] cruza o Eixo das Ordenadas é [tex3]E[/tex3] e o Ponto onde a Reta de [tex3]\overline{BC}[/tex3] cruza o Eixo das Abcissas é [tex3]F[/tex3]

O ângulo entre as duas retas pode ser medido com a fórmula:

[tex3]\tg\theta=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}[/tex3]

Se a diferença é de [tex3]90^\circ[/tex3], e [tex3]\tg90^\circ=\mbox{Indeterminado}[/tex3], para a conta dar indeterminado o Denominado precisa zerar, logo:

[tex3]1+m_1m_2=0[/tex3]
[tex3]1-2m_2=0[/tex3]

[tex3]\color{PineGreen}\boxed{m_2=\frac12}[/tex3]

Essa é a Inclinação das Retas [tex3]AB[/tex3] e [tex3]CD[/tex3]

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Para encontrar o Ponto [tex3]E\,(0,y_{_E})[/tex3], vamos usar o [tex3]m[/tex3] e o Ponto [tex3]A[/tex3]

[tex3]m=\frac{y-y_0}{x-x_0}[/tex3]

[tex3]\frac12=\frac{y_{_E}-0}{0-2}[/tex3]

[tex3]\color{BurntOrange}\boxed{y_{_E}=-1}[/tex3]

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Pela semelhança de Triângulos, [tex3]\Delta ADE[/tex3] e [tex3]\Delta ABF[/tex3] são iguais, logo, [tex3]\overline{DE}[/tex3] e [tex3]\overline{AF}[/tex3] são iguais. Como a distância de [tex3]\overline{DE}=5=\overline{AF}[/tex3], e com base as Coordenadas de [tex3]A[/tex3], sabemos agora que [tex3]F\,(7,0)[/tex3]

Sabendo o Ponto [tex3]F[/tex3] e o [tex3]m[/tex3], podemos encontrar a Equação da Reta:

[tex3]m=\frac{y-y_0}{x-x_0}[/tex3]

[tex3]-2=\frac{y-0}{x-7}[/tex3]

[tex3]-2x+14=y[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{2x+y-14=0}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\mbox{Alternativa B}}[/tex3]

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Essa é a forma que eu faria, mas comecei meus estudo em Geometria Analítica a pouco tempo, então talvez haja uma forma mais rápida e eficiente

Oie, não entendi sobre esse negócio de E e F, poderia desenhar? não consigo associar a figura