Pré-Vestibular ⇒ Função quadrática/Uneb-BA Tópico resolvido

[Harison]

A função quadrática [tex3]f[/tex3] e a função afim [tex3]g[/tex3] têm os gráficos:

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Da análise dos gráficos,pode-se concluir que o conjunto solução da inequação

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é:

20210514_230248.jpg (11.83 KiB) Exibido 1240 vezes

Resposta

---

E

[Harison]

@Harison ,

[tex3]\text{g(x)}[/tex3] é uma função quadrática com raizes 0 e 0:
[tex3]\text{g(x)}=\text{a}_1.(x-0).(x-0)[/tex3]
[tex3]\text{g(x)}=\text{a}_1.x^2[/tex3]

[tex3]\text{g(x)}[/tex3] passa por [tex3](-2,m)[/tex3] e [tex3](1,n)[/tex3]:
[tex3]\begin{cases}
m=4.\text{a}_1 \\
n=\text{a}_1
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\text{f(x)}[/tex3] é uma função afim:
[tex3]\text{f(x)}=\text{a}.x+\text{b}[/tex3]

[tex3]\text{f(x)}[/tex3] passa por [tex3](-2,m)[/tex3] e [tex3](1,n)[/tex3]:
[tex3]\begin{cases}
m=-2.\text{a}+\text{b}\\
n=\text{a}+\text{b}
\end{cases}[/tex3]

Substituindo [tex3]m=4.\text{a}_1[/tex3] e [tex3]n=\text{a}_1[/tex3]:
[tex3]\begin{cases}
4.\text{a}_1=-2.\text{a}+\text{b}\\
\text{a}_1=\text{a}+\text{b}
\end{cases}[/tex3]

Subtraindo as equações:
[tex3]3.\text{a}_1=-3.\text{a}[/tex3]
[tex3]\text{a}_1=-\text{a}[/tex3]

[tex3]4.\text{a}_1=-2.\text{a}+\text{b} [/tex3]
[tex3]4.\text{a}_1=2.\text{a}_1+\text{b} [/tex3]
[tex3]\text{b}=2.\text{a}_1[/tex3]

Portanto, substituindo as informações que encontramos e simplificando:
[tex3]\frac{\text{f(x)}}{\text{g(x)}}=\frac{-\text{a}_1.x+2.\text{a}_1}{\text{a}_1.x^2}=\frac{\text{a}_1.(-x+2)}{\text{a}_1.x^2}=\frac{-x+2}{x^2}[/tex3]

Substituindo na inequação pedida:
[tex3]\frac{\text{f(x)}}{\text{g(x)}}<1[/tex3]
[tex3]\frac{-x+2}{x^2}<1[/tex3]
[tex3]\frac{-x+2}{x^2}-1<0[/tex3]
[tex3]\frac{-x^2-x+2}{x^2}<0[/tex3]

Vamos definir o numerador como [tex3]\text{q(x)}[/tex3] e o denominador como [tex3]\text{t(x)}[/tex3]
[tex3]\text{q(x)}=-x^2-x+2[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]x_1=-2[/tex3] e [tex3]x_2=1[/tex3]

[tex3]\text{t(x)}=x^2[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]x_3=0[/tex3]

Montando um diagrama de sinais:

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[tex3]{\color{red}\boxed{\text{S}=\mathbb{R}-[-2,1]}}[/tex3]