Ensino Superior ⇒ mostrar que o vetor é uma Base - Álgebra Linear Tópico resolvido

[thetruth]

mostre que {1, 2t, −2 + 4t^2, −12t + 8t^3} é base de P3([tex3]\mathbb{R}[/tex3]).

eu sei que para encontrar a base o conjunto precisa ser LI e gerar o espaço. mas estou com dificuldade nessa questão, não consegui assimilar muito bem essa parte.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Recapitulando as condições que devem ser satisfeitas para que um determinado conjunto seja base.


I - o conjunto deve ser L.I. , ou seja , não podemos conseguir escrever nenhum elemento do conjunto como combinação linear um do outro.

I I - o conjunto deve gerar todo o espaço, neste caso dos polinômios de até grau três.


Dito isso, vem;

[tex3]k.p_{1} \ + \ m.p_{2} \ + \ n.p_{3} \ + \ w.p_{4} = 0 [/tex3].

Em que k , m , n e w são constantes , essa equação só pode admitir solução que trivial. Vem,

k.1 + m.2t + n.( - 2 + 4t² ) + w.( - 12t + 8t³ ) = 0

k + 2m.t - 2n + 4n.t² - 12w.t + 8w.t³ = 0

( 8w ).t³ + ( 4n ).t² + ( 2m - 12w ).t + ( k - 2n ) = 0

Que resulta no seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
8w = 0 \\
4n = 0 \\
2m - 12w = 0 \\
k - 2n = 0
\end{cases} →k = m = n = w = 0[/tex3].

Como k = m = n = w = 0 isso mostra que o conjunto dos polinômios dado é L.I..


Vamos mostrar agora que a base dada gera esse espaço tomando um polinômio genérico p que é: p = a.t³ + b.t² + c.t + d.


Obs. Tome um polinômio do terceiro grau mais geral possível e mostrar que conseguimos escrevê-lo com a base que temos.


Assim, teremos

(8w).t³ + (4n).t² + (2m - 12w).t + (k - 2n) = a.t³ + b.t² + c.t + d

e obtemos o seguinte sistema

[tex3]\begin{cases}
8w = a \\
4n = b \\
2m - 12w = c \\
k - 2n = d
\end{cases}[/tex3].

Resolvendo o sistema acima , você irá encontrar

[tex3]k = \frac{2d + b}{2}[/tex3] , [tex3]m = \frac{2c + 3a}{4}[/tex3] , [tex3]n = \frac{b}{4}[/tex3] , [tex3]w = \frac{a}{8}[/tex3].

Como conseguimos escrever o polinômio como C.L. da nossa base , então , nossa base gera o espaço indicado.

Portanto , o conjunto { 1, 2t , − 2 + 4t² , − 12t + 8t³ } é base de P [tex3]_{3}[/tex3]([tex3]\mathbb{R}[/tex3] ). C.q.m.


Nota

Perguntas secundárias ficarão a cargo do leitor!





Excelente estudo!

[thetruth]

Observe

Uma solução:

Recapitulando as condições que devem ser satisfeitas para que um determinado conjunto seja base.


I - o conjunto deve ser L.I. , ou seja , não podemos conseguir escrever nenhum elemento do conjunto como combinação linear um do outro.

I I - o conjunto deve gerar todo o espaço, neste caso dos polinômios de até grau três.


Dito isso, vem;

[tex3]k.p_{1} \ + \ m.p_{2} \ + \ n.p_{3} \ + \ w.p_{4} = 0 [/tex3].

Em que k , m , n e w são constantes , essa equação só pode admitir solução que trivial. Vem,

k.1 + m.2t + n.( - 2 + 4t² ) + w.( - 12t + 8t³ ) = 0

k + 2m.t - 2n + 4n.t² - 12w.t + 8w.t³ = 0

( 8w ).t³ + ( 4n ).t² + ( 2m - 12w ).t + ( k - 2n ) = 0

Que resulta no seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
8w = 0 \\
4n = 0 \\
2m - 12w = 0 \\
k - 2n = 0
\end{cases} →k = m = n = w = 0[/tex3].

Como k = m = n = w = 0 isso mostra que o conjunto dos polinômios dado é L.I..


Vamos mostrar agora que a base dada gera esse espaço tomando um polinômio genérico p que é: p = a.t³ + b.t² + c.t + d.


Obs. Tome um polinômio do terceiro grau mais geral possível e mostrar que conseguimos escrevê-lo com a base que temos.


Assim, teremos

(8w).t³ + (4n).t² + (2m - 12w).t + (k - 2n) = a.t³ + b.t² + c.t + d

e obtemos o seguinte sistema

[tex3]\begin{cases}
8w = a \\
4n = b \\
2m - 12w = c \\
k - 2n = d
\end{cases}[/tex3].

Resolvendo o sistema acima , você irá encontrar

[tex3]k = \frac{2d + b}{2}[/tex3] , [tex3]m = \frac{2c + 3a}{4}[/tex3] , [tex3]n = \frac{b}{4}[/tex3] , [tex3]w = \frac{a}{8}[/tex3].

Como conseguimos escrever o polinômio como C.L. da nossa base , então , nossa base gera o espaço indicado.

Portanto , o conjunto { 1, 2t , − 2 + 4t² , − 12t + 8t³ } é base de P [tex3]_{3}[/tex3]([tex3]\mathbb{R}[/tex3] ). C.q.m.


Nota

Perguntas secundárias ficarão a cargo do leitor!





Excelente estudo!

eu consegui chegar até a parte que determina que é LI. tenho uma dúvida em relação a escolha do polinômio, existe algum critério na escolha??