Olimpíadas ⇒ (OBM - 2006) Valor Mínimo de uma Expressão

[jgpret]

Qual é o menor valor que a expressão [tex3]\sqrt{x^2+ 1 } + \sqrt{ (y-x)^2 + 4} + \sqrt{( z-y)^2 + 1} + \sqrt{(10-z)^2 + 9}[/tex3] pode assumir, sendo [tex3]x, y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] reais?

a) [tex3]7[/tex3]
b) [tex3]13[/tex3]
c) [tex3]4+ \sqrt{109}[/tex3]
d) [tex3]3+ \sqrt{2}+ \sqrt{90}[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{149}[/tex3]

[Ittalo25MOD]

Desigualdade entre média aritmética e quadrática:

[tex3]\sqrt{\frac{x^2+1^2}{2}}\geq \frac{x+1}{2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{(y-x)^2+2^2}{2}}\geq \frac{y-x+2}{2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{(z-y)^2+1^2}{2}}\geq \frac{z-y+1}{2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{(10-z)^2+3^2}{2}}\geq \frac{10-z+3}{2}[/tex3]

Somando tudo:

[tex3]\sqrt{\frac{x^2+1^2}{2}}+\sqrt{\frac{(y-x)^2+2^2}{2}}+\sqrt{\frac{(z-y)^2+1^2}{2}}+\sqrt{\frac{(10-z)^2+3^2}{2}}\geq \frac{17}{2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{x^2+1^2}+\sqrt{(y-x)^2+2^2}+\sqrt{(z-y)^2+1^2}+\sqrt{(10-z)^2+3^2}\geq \frac{17\sqrt{2}}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{17\sqrt{2}}{2} \approx \sqrt{149}[/tex3]

Não entendi por que não deu o valor exato...

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