IME / ITA ⇒ (EFOMM - 1994) Função Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Sabendo que [tex3]f'(x)=\frac{x+2}{x^2+4x+11}[/tex3] e que [tex3]f(1)=0[/tex3], então o valor de [tex3]f(0)[/tex3] é:

a) [tex3]\ell n(\frac{\sqrt{11}}{4})[/tex3].
b) [tex3]\frac{(\ell n\sqrt{11})}{\ell n4}[/tex3].
c) [tex3]\ell n(4\sqrt{11})[/tex3].
d) [tex3]\frac{\ell n4}{\ell n\sqrt{11}}[/tex3].
e) [tex3]\sqrt{11}\ell n4[/tex3].

[Auto Excluído (ID:3002)]

Como [tex3]f'(x)=\frac{x+2}{x^2+4x+11}[/tex3] então:
[tex3]f(x)= \int \frac{x+2}{x^2+4x+11}dx[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]f(x)=\frac{ln|x^2+4x+11|}{2}+C[/tex3]

Sabendo que [tex3]f(1)=0[/tex3] então:
[tex3]\frac{ln|1^2+4 \times 1+11|}{2}+C=0[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]C=-ln4[/tex3]

Daí: [tex3]f(x)=\frac{ln|x^2+4x+11|}{2}-ln4[/tex3]

Portanto

[tex3]f(0)=\frac{ln|0^2+4 \times 0+11|}{2}-ln4[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]f(0)=\frac{ln11}{2}-ln4[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]f(0)=\ln(\frac{\sqrt{11}}{4})[/tex3]

Resposta:letra a

OBS: Para resolver a integral [tex3]\int \frac{x+2}{x^2+4x+11}dx[/tex3] fiz o seguinte:
Primeiro chame [tex3]u=x^2+4x+11[/tex3] assim [tex3]du=2(x+2)dx[/tex3]. Daí:
[tex3]\int \frac{x+2}{x^2+4x+11}dx=\int \frac{1}{2u}du=\frac{ln|u|}{2}+C=\frac{ln|x^2+4x+11|}{2}+C[/tex3]