Olimpíadas ⇒ (OIM - 1959) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Construa um triângulo retângulo com hipotenusa [tex3]c[/tex3] dado que a mediana em relação a hipotenusa é a média geométrica entre os catetos do triângulo.

[ALDRINMOD]

up!!!

[theblackmamba]

Sabemos que a mediana em relação a hipotenusa equivale a metade do valor da hipotenusa.

Temos a seguinte relação com os dados do enunciado:

[tex3]\frac{c}{2} = \sqrt{ab}[/tex3]
[tex3]\frac{c^2}{4} = ab[/tex3]

Sendo [tex3]\theta[/tex3] o ângulo entre b e c temos:

[tex3]cos\theta=\frac{b}{c} \to b = c\cdot cos\theta[/tex3]
[tex3]sen\theta = \frac{a}{c} \to a = c \cdot sen \theta[/tex3]


Substituindo:
[tex3]\frac{\cancel{c^2}}{4} = \cancel{c^2} \cdot sen\theta \cdot cos \theta[/tex3]
[tex3]2 \cdot (2\cdot sen\theta \cdot cos \theta) = 1[/tex3]
[tex3]sin(2\theta) = \frac{1}{2}[/tex3]

Assim,
[tex3]2\theta = 30^{\circ} \to \theta = 15^{\circ}[/tex3] ou [tex3]2\theta=150^{\circ} \to \theta = 75^{\circ}[/tex3]

Logo o outro ângulo vale [tex3]75^{\circ}[/tex3] ou [tex3]15^{\circ}[/tex3].

triangulo.png (9.25 KiB) Exibido 878 vezes