Ensino Superior ⇒ Abscissa da Interseção da Reta com eixo-X Tópico resolvido

[MrIron]

Capítulo 1 - Métodos Numéricos - Exercício 2

Verifique se as duas expressões abaixo podem ser usadas para calcular a abscissa da interseção da reta, que passa pelos pontos [tex3](x_0,\,y_0)[/tex3] e [tex3](x_1,\,y_1)[/tex3], com o eixo-[tex3]x[/tex3]:

[tex3]x=\frac{x_0y_1-x_1y_0}{y_1-y_0}[/tex3]

e

[tex3]x=x_o-\frac{(x_1-x_0)y_0}{y_1-y_0}[/tex3]

Gostaria de ter esta fórmula deduzida.

[Cardoso1979]

Observe

Uma verificação:

Calculando o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos [tex3](x_0,\,y_0)[/tex3] e [tex3](x_1,\,y_1)[/tex3] , vem ;

[tex3]m = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}[/tex3].

A reta procurada que passa pelo [tex3](x_0,\,y_0)[/tex3] é dada por

[tex3]y - y_{0} = m.( x \ - \ x_{0} )[/tex3]

[tex3]y - y_{0} = \left( \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} \right).( x \ - \ x_{0} )[/tex3]

Como o autor está pedindo a abscissa da interseção da reta, que passa pelos pontos [tex3](x_0,\,y_0)[/tex3] e [tex3](x_1,\,y_1)[/tex3] , com o eixo-x, então façamos y = 0, fica;

[tex3]- y_{0} = \left( \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} \right).( x \ - \ x_{0} )[/tex3]

[tex3]x_{0}y_{0} - x_{1}y_{0} = ( y_{1} - y_{0} ).x \ - \ (y_{1} - y_{0} ).x_{0}[/tex3]

[tex3]x_{0}y_{0} - x_{1}y_{0} \ + \ x_{0}y_{1} - x_{0}y_{0} \ = \ (y_{1} - y_{0} ).x \ ( I )[/tex3]

[tex3](y_{1} - y_{0} ).x \ = \ x_{0}y_{1} \ - \ x_{1}y_{0}[/tex3]

Logo,

[tex3]x \ = \ \frac{x_{0}y_{1} \ - \ x_{1}y_{0}}{ y_{1} - y_{0} }[/tex3]. C.q.v.


De ( I ) , temos que

[tex3](y_{1} - y_{0} ).x = x_{0}y_{1} \ - \ x_{0}y_{0} \ - \ x_{1}y_{0} \ + \ x_{0}y_{0}[/tex3]

[tex3]x = \frac{ \cancel{(y_{1} \ - \ y_{0})}.x_{0} }{ \cancel{y_{1} - y_{0}}} \ - \ \frac{ ( x_{1}\ - \ x_{0} ).y_{0}}{ y_{1} - y_{0} }[/tex3]

Portanto,

[tex3]x = x_{0} \ - \ \frac{ ( x_{1}\ - \ x_{0} ).y_{0}}{ y_{1} - y_{0} }[/tex3]. C.q.v.

Obs. Caso queira, você pode esboçar o gráfico

Excelente estudo!