Ensino Superior ⇒ encontrar transformação linear a partir das imagens Tópico resolvido

[thetruth]

Encontre uma transformação linear T : R3 → R4 cuja imagem é gerada por (1, 2, 3, −1) e (1, 1, −1, 3).

[deOliveira]

Sendo [tex3]\mathcal B=\{e_1, e_2,e_3\}[/tex3] uma base de [tex3]\mathbb R^3[/tex3] sabemos que [tex3]Im T=[T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4)][/tex3].

Então, podemos usar a base canônica [tex3]\mathcal B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}[/tex3]. Definimos:

[tex3]T(1,0,0)=T(0,1,0)=(1,2,3,-1)\\
T=(0,0,1)=(1,1,-1,3)[/tex3]

Então, temos:

[tex3]T(x,y,z)=\\xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)=\\x(1,2,3,-1)+y(1,2,3,-1)+z(1,1,-1,3)=\\(x+y+z,2x+2y+z,3x+3y-z,-x-y+3z)[/tex3]

Então, temos que [tex3]T(x,y,z)=(x+y+z,2x+2y+z,3x+3y-z,-x-y+3z)[/tex3] é uma transformação tal que [tex3]ImT=[(1,2,3,-1),(1,1,-1,3)][/tex3].

Espero ter ajudado.

[thetruth]

Sendo [tex3]\mathcal B=\{e_1, e_2,e_3\}[/tex3] uma base de [tex3]\mathbb R^3[/tex3] sabemos que [tex3]Im T=[T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4)][/tex3].

Então, podemos usar a base canônica [tex3]\mathcal B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}[/tex3]. Definimos:

[tex3]T(1,0,0)=T(0,1,0)=(1,2,3,-1)\\
T=(0,0,1)=(1,1,-1,3)[/tex3]

Então, temos:

[tex3]T(x,y,z)=\\xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)=\\x(1,2,3,-1)+y(1,2,3,-1)+z(1,1,-1,3)=\\(x+y+z,2x+2y+z,3x+3y-z,-x-y+3z)[/tex3]

Então, temos que [tex3]T(x,y,z)=(x+y+z,2x+2y+z,3x+3y-z,-x-y+3z)[/tex3] é uma transformação tal que [tex3]ImT=[(1,2,3,-1),(1,1,-1,3)][/tex3].

Espero ter ajudado.

opa, Obrigado! eu cheguei em uma transformação linear diferente dessa. tem algum teste que eu possa fazer para saber se a que encontrei está certa?

[deOliveira]

É só você ver se o conjunto imagem dessa transformação que você encontrou é o conjunto gerado pelos vetores dados no enunciado.

[thetruth]

É só você ver se o conjunto imagem dessa transformação que você encontrou é o conjunto gerado pelos vetores dados no enunciado.