IME / ITA ⇒ (Simulado-Ime/Ita) Equação

[AngelitaB]

Seja K o número de soluções (x, y, z) inteiras para a equação 3x²+y²+z²=2x(y+z). Então o número de soluções reais distintas da equação [tex3]\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{7-a}[/tex3]=3k é:
a)0
b)1
c)2
d4
e)5

[undefinied3]

[tex3]x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+x^2=0 \rightarrow (x-y)^2+(x-z)^2+x^2=0[/tex3]
Solução única [tex3]x=y=z=0[/tex3].

Então [tex3]k=1[/tex3].

[tex3]\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{7-a}=3 \rightarrow u+v=3[/tex3]
[tex3]u^3+v^3=a+7-a=7[/tex3]

[tex3](u+v)(u^2-uv+v^2)=7 \rightarrow 3((u+v)^2-3uv)=7 \rightarrow 3(9-3uv)=7[/tex3]
[tex3]\therefore uv = \frac{1}{3}(9-\frac{7}{3})=\frac{20}{9}[/tex3]

[tex3]u+v=3, \ uv=\frac{20}{9} \rightarrow x^2-3x+\frac{20}{9}=0[/tex3]
[tex3]x_1=\frac{4}{3}, \ x_2=\frac{5}{3}[/tex3]

Se fizer [tex3]\sqrt[3]{a}=x_1 \rightarrow a=\frac{64}{27}[/tex3]
Se fizer [tex3]\sqrt[3]{a}=x_2 \rightarrow a=\frac{125}{27}[/tex3]

Logo, duas soluções. Letra C.