Ensino Superior ⇒ decomposicao de f par e impar

[leafhoney]

1) Verifique que a funcao f(x): x4+x3+x2+x+1, definida para todo x E IR, nao é par nem impar. Entretanto, prove que f pode ser decomposta na soma de uma funcao par com uma funcao impar, detetminando as funcoes desta decomposicao.

Acima lê-se x elevado a quarta, x elevado ao cubo....

[leafhoney]

bem podemos separar estas funcoes em h(x): x^3+ x e g(x):x^4+x^2+1, fazendo para cada uma as restricoes vemos que g(x) é par e h(x), ímpar.

[Osvald26]

A decomposição em funções pares e ímpares é tal que qualquer função f(x) pode ser decomposta em:

[tex3]f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = g(x) + h(x)[/tex3]

Repare que g(x) é par e h(x) é ímpar:

[tex3]g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} \Rightarrow g(-x) = \frac{f(- x) + f(x)}{2} = g(x)[/tex3]

[tex3]h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} \Rightarrow h(-x) = \frac{f(- x) - f(x)}{2} = - h(x)[/tex3]

Esse resultado vale para qualquer função f(x), desde que ela seja definida no mesmo intervalo que g(x) e h(x).