Ensino Superior ⇒ mostrar que T é transformação linear Tópico resolvido

[thetruth]

Seja T : R3 → R4 dada por T(x, y, z) = (z + y − 2z, 2x − 2y, −y +z, x − z).

Mostre que T é uma transformação linear. Determine uma base para o núcleo de T e uma base para a Imagem de T.

alguém poderia ajudar? estou com dificuldade na parte da soma U+V

[deOliveira]

[tex3]T(x, y, z) = (z + y − 2z, 2x − 2y, −y +z, x − z)=(-z + y , 2x − 2y, −y +z, x − z)[/tex3]

Sejam [tex3](x,y,z),(a,b,c)\in\mathbb R^3[/tex3] e [tex3]\mu\in\mathbb R[/tex3].

[tex3]T((x,y,z)+(a,b,c))=\\T(x+a,y+b,z+c)=\\(-z-c+y+b,2x+2a-2y-2b,-y-b+z+c,x+a-z-c)=\\
(-z+y,2x-2y,-y+z,x-z)+(-c+b,2a-2b,-b+c,a-c)=\\T(x,y,z)+T(a,b,c)[/tex3]

[tex3]T(\mu(x,y,z))=\\T(\mu x,\mu y,\mu z)=\\
(-\mu z+\mu y,2\mu x-2\mu y,-\mu y+\mu z,\mu x-\mu z)=\\\mu(-z + y , 2x − 2y, −y +z, x − z)=\\\mu T(x,y,z)[/tex3]

Portanto, [tex3]T[/tex3] é uma transformação linear.

[tex3]Nuc T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3: T(x,y,z,w)=(0,0,0,0)[/tex3]
Seja [tex3](x,y,z)\in Nuc T[/tex3].
[tex3]\implies(-z + y , 2x − 2y, −y +z, x − z)=(0,0,0,0)\\\implies\begin{cases}-z+y=0\implies y=z\\2x-2y=0\implies x=y\\-y+z=0\\x-z=0\end{cases}\\
\implies(x,y,z)=(x,x,x)=x(1,1,1)\\\implies Nuc T=[(1,1,1)][/tex3]
[tex3]\{(1,1,1)\}[/tex3] é base de [tex3]Nuc T[/tex3].

[tex3][T]=\begin{pmatrix}0&1&-1\\2&-2&0\\0&-1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}\\\implies ImT=[(0,2,0,1),(1,-2,-1,0),(-1,0,1,-1)][/tex3]

Sejam [tex3]a,b,c\in\mathbb R[/tex3] tais que
[tex3]a(0,2,0,1)+b(1,-2,-1,0)+c(-1,0,1,-1)=(0,0,0,0)\\\implies (a+b-c,2a-2b,b+c,a-c)=(0,0,0,0)\\\implies
\begin{cases}a+b-c=0\\2a-2b=0\implies a=b\\b+c=0\implies c=-b\\a-c=0\implies c=a\end{cases}\\\implies c=-a=a\implies a=0\\\implies a=b=c=0[/tex3]
[tex3]\implies \{(0,2,0,1),(1,-2,-1,0),(-1,0,1,-1)\}[/tex3] é LI e base de [tex3]ImT[/tex3].

[thetruth]

[tex3]T((x,y,z)+(a,b,c))=\\T(x+a,y+b,z+c)=\\(-z-c+y+b,2x+2a-2y-2b,-y-b+z+c,x+a-z-c)=\\
(-z+y,2x-2y,-y+z,x-z)+(-c+b,2a-2b,-b+c,a-c)=\\T(x,y,z)+T(a,b,c)[/tex3]

eu me enrolo aqui, preciso praticar mais. obrigado

[deOliveira]

Vou acrescentar uma linha

[tex3]T(\mu(x,y,z))=\\T(\mu x,\mu y,\mu z)=\\
(-\mu z+\mu y,2\mu x-2\mu y,-\mu y+\mu z,\mu x-\mu z)=\\
\boxed{(\mu(-z-y),\mu(2x-2y),\mu(-y+z),\mu(x-z))}=\\
\mu(-z + y , 2x − 2y, −y +z, x − z)=\\\mu T(x,y,z)[/tex3]

[thetruth]

[tex3]T(x, y, z) = (z + y − 2z, 2x − 2y, −y +z, x − z)=(-z + y , 2x − 2y, −y +z, x − z)[/tex3]


Sejam (x,y,z),(a,b,c)∈R3(x,y,z),(a,b,c)∈R3 e μ∈Rμ∈R .

não seria -x+y-2z???

[deOliveira]

É o jeito que você escreveu.

[thetruth]

É o jeito que você escreveu.

na igualdade você escreveu -z+y, não seria -z+y-2z??

edit: aah entendi, você subtraiu, falta de atenção minha

[deOliveira]

Seja T : R3 → R4 dada por T(x, y, z) = (z + y − 2z, 2x − 2y, −y +z, x − z).

Eu só juntei os z da primeira coordenada.

[thetruth]

Seja T : R3 → R4 dada por T(x, y, z) = (z + y − 2z, 2x − 2y, −y +z, x − z).

Eu só juntei os z da primeira coordenada.

sim, eu entendi depois