Ensino Médio ⇒ (Iezzi) Equação logarítmica

[ragefloyd]

FME II, Ch. 5, Q. 247:

Determine a solução real da equação [tex3]\sqrt[x]{3}-\sqrt[2x]{3}=2[/tex3]

Sugestão: [tex3]\frac{1}{x}=2y[/tex3]

GABARITO:

Resposta

---

[tex3]S=\varnothing[/tex3]

Fiz o seguinte:

[tex3]\sqrt[x]{3}-\sqrt[2x]{3}=2 \Rightarrow 3^{1/x}-3^{1/2x}=2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow 3^{2y}-3^y=2,\ y=\frac{1}{2x}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow z^2-z-2=0,\ z=3^y \rightarrow z=3^{1/2x}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow z_{1,2}=2,-1\text{, mas }z=3^{1/2x}>0 \Rightarrow z=2[/tex3]
[tex3]\Rightarrow 3^{1/2x}=2 \Rightarrow \frac{1}{2x}=\log_32[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \left( \frac{1}{2x} \right)^{-1}=(\log_3 2)^{-1}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow 2x=log_2 3 \Rightarrow x=\frac{1}{2}\log_2 3 \Rightarrow x=\log_4 3[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \therefore \boxed{S=\{\log_4 3\}}[/tex3]

Onde eu estou errado?

[Fibonacci13]

Olá ragefloyd, eu pensei da seguinte maneira(não usei logaritmo):

[tex3]\sqrt[x]{3}-\sqrt[2x]{3}=2[/tex3]

[tex3]\sqrt[2x]{9}-\sqrt[2x]{3}=2[/tex3]

[tex3](3)^{2^{1/2x}}-(3)^{1/2x}=2[/tex3]

[tex3]3^{2y}-3^{y}=2[/tex3]

Fazendo [tex3]z = 3^{y}[/tex3]

[tex3]z^{2}-z-2=0[/tex3]

z' = -1
z'' = 2

[tex3]3^{y}=-1(Impossível)[/tex3]
[tex3]3^{y}=2(Impossível)[/tex3]

[ragefloyd]

Olá @Fibonacci13, obrigado pela resposta!

Concordo que [tex3]3^{y}\neq-1[/tex3], pois [tex3]3^y>0[/tex3], mas acredito que não haja nada que impeça que [tex3]3^{y}=2[/tex3], afinal, se [tex3]3^{y}=2 \rightarrow \ y=\log_32[/tex3], que é um número irracional, mas real.

Na verdade, estou começando a achar que o gabarito está errado, pois o Wolfram Alpha concorda comigo: https://www.wolframalpha.com/input/?i=3 ... %29%29%3D2

[Fibonacci13]

Mas esse log é 0.63092.... acredito que precisava ser maior que 1. Mas enfim, tentei ajudar. Desculpa se atrapalhei.

[Fibonacci13]

Não sei se ajuda, mas nesse link: viewtopic.php?t=64409

Tem essa questão, e o cara diz que no livro o x pertence aos naturais não nulos e esse log não é natural.

[ragefloyd]

Mas enfim, tentei ajudar. Desculpa se atrapalhei.

Não atrapalhou de forma alguma! Eu apenas discordei da sua mensagem, mas toda tentativa de ajuda é bem-vinda. Perdão se eu soei mal agradecido.

Mesmo que o log seja menor que 1, sendo maior que zero, é número real e deveria ser solução pelo enunciado, acredito que seja irrelevante a naturalidade do valor.

Alias, obrigado por encontrar esse post e perdão pelo tópico repetido. Não consegui encontrar por conta do TeX.