Olimpíadas ⇒ (OCM) Geometria Espacial: Poliedros

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A superfície de um planeta esférico é dividida entre os países de uma federação, de tal forma que nenhum país engloba outros países, cada país faz fronteira com exatamente três outros e nenhuma fronteira entre dois países se reduz a um ponto. Nesse planeta, uma "tríplice fronteira" é um ponto em que as fronteiras de três países se encontram. Por outro lado, uma aliança geopolítica é um grupo [tex3]p_1,\,p_2,\,p_3,\,...,\,p_k[/tex3] de países, tal que [tex3]p(i)[/tex3] faz fronteira com [tex3]p(i+1)[/tex3] para todo [tex3]i[/tex3] (com [tex3]p(k+1)=p(1)[/tex3] e [tex3]i[/tex3] no conjunto [tex3]1,\,2,\,...,\,k[/tex3]). Sabendo que não há alianças geopolíticas com mais de cinco países, mostre que o planeta tem no máximo quatro tríplices fronteiras. Além disso, mostre que a igualdade ocorre se, e só se, o planeta tiver exatamente quatro países.

[LeoJaques]

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