Ensino Médio ⇒ Crescimento exponencial Tópico resolvido

[Hanako]

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A tabela acima mostra um pedaço curto da curva de número de casos confirmados de COVID19 em uma certa cidade/estado/país. O tempo é contado a partir do dia em que foi registrado o centésimo caso. O local e a data correspondente ao dia [tex3]t=0[/tex3] são indicados na própria tabela. Enquanto grande parte da população não for imune (seja por já ter contraído o vírus ou por ter sido vacinada) espera-se que o número de casos cresça exponencialmente
[tex3]I(t) = I(0) e^{\beta t}[/tex3]

Onde I [tex3](0)[/tex3] é o número de casos no dia [tex3]t = 0[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] mede o número de pessoas que um infectado contagia por dia (uma medida da velocidade de propagação do vírus).

Sabendo que a linearização Y = ln l ; X = t; A = ln l(0); B = β, determine os coeficientes A e B da reta [tex3]Y=A+BX[/tex3] e estime os parâmetros [tex3]I(0[/tex3]) e [tex3]β[/tex3] do modelo

[CarlosBruno]

Vamos começar estimando o valor de [tex3]\beta[/tex3] utilizando os dados do dia 5, ou seja que [tex3]I(5) = 196 \therefore 196 = 90 e^{5\beta }\implies e^{5\beta} = 98/45 \therefore 5\beta = \ln(98/45) \therefore \beta = \frac{1}{5}\cdot \ln(\frac{98}{45})[/tex3]

Agora para determinar os coeficientes, considere: [tex3]ln(I(0)e^{\beta t}) = \ln(I(0)) + \ln(e^{\beta t}) = \ln(I(0)) + \beta \ln(e) \cdot t = \ln(I(0)) + \beta t[/tex3] . Percebe-se que X = t e portanto, [tex3]\ln(I(0)) + \beta t = \ln(I(0)) + \beta X = A + BX[/tex3]

Conclui-se que [tex3]A = \ln(I(0)) = \ln(90)[/tex3] e [tex3]B = \beta = \frac{1}{5}\cdot \ln(\frac{98}{45})[/tex3]