IME / ITA ⇒ (IME - 1971) Trigonometria

[ALDRINMOD]

Determine os valores de [tex3]x[/tex3] que satisfazem a equação:
[tex3]7sen^2x-2\sqrt{3}senxcosx+cos^2x=4[/tex3] .

[Osvald26]

[tex3]7\sin^2x - 2\sqrt{3}\sin x\cos x + \cos^2x = 4[/tex3]

Rearrumando a equação de forma conveniente e pedagógica:

[tex3]6\sin^2x + (\sin^2x + \cos^2x)- \sqrt{3}(2\sin x \cos x) = 4[/tex3]

Utilizando identidades trigonométricas, e simplificando temos que:

[tex3]6\sin^2x + 1 - \sqrt{3}\sin(2x) = 4)[/tex3]

Simplificando mais ainda:

[tex3]\sqrt{3} \sin(2x) =6\sin^2x - 3 = 3(2\sin^2x - 1)[/tex3]

Lembrando que:

[tex3]\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = 1 - 2\sin^2x[/tex3]

Tem-se que:

[tex3]\sqrt{3} \sin(2x) = - 3\cos(2x) \Rightarrow x = \tan^{-1}(- \sqrt{3})[/tex3]