Ensino Superior ⇒ Círculos Ortogonais Tópico resolvido

[NigrumCibum]

geobson, acredito que dê para provar, vou tentar.

[geobson]

NigrumCibum, beleza, meu amigo...agradeço demais...

[NigrumCibum]

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Seja A o centro da circunferência de inversão [tex3]Γ[/tex3] de raio 1 e sejam [tex3]\omega _1, [/tex3], [tex3]\omega_2[/tex3] e [tex3]\omega_3[/tex3] os circuncírculos dos triângulos ABC, ACD e ABD.
Os inversos das circunferências [tex3]\omega _1[/tex3], [tex3]\omega _2[/tex3] e [tex3]\omega_3[/tex3] são as retas [tex3]\omega_1^*[/tex3], [tex3]\omega_2^*[/tex3] e [tex3]\omega_3^*[/tex3], com [tex3]\omega_1^*\perp \omega_2^*[/tex3], já que [tex3]\omega_1[/tex3] e [tex3]\omega_2[/tex3] são ortogonais.
Como [tex3]\omega_1\cap \omega_3=B[/tex3], [tex3]\omega_2\cap \omega_3=D[/tex3] e [tex3]\omega_1\cap\omega_2=C[/tex3], então os inversos destes pontos em relação a [tex3]Γ[/tex3], serão [tex3]\omega_1^*\cap \omega_3^*=B^*[/tex3], [tex3]\omega_2^*\cap\omega_3^*=D^*[/tex3] e [tex3]\omega_1^*\cap\omega_2^*=C^*.[/tex3]
Deste modo, pela definição de inversão, temos: [tex3]AB×AB^*=1\implies AB^*=\frac{1}{c}[/tex3] e [tex3]AC×AC^*=1\implies AC^*=\frac{1}{q}.[/tex3]
Desta forma: [tex3]\triangle ABC∽\triangle AB^*C^*\implies \frac{c}{d}=\frac{\frac{1}{q}}{B^*C^*}\implies B^*C^*=\frac{d}{cq};[/tex3]
[tex3]\triangle ACD∽\triangle AC^*D^*\implies \frac{b}{a}=\frac{\frac{1}{q}}{B^*C^*}\implies B^*C^*=\frac{d}{cq};[/tex3]
[tex3]\triangle ABD∽\triangle AB^*D^*\implies \frac{b}{p}=\frac{\frac{1}{c}}{B^*D^*}\implies B^*D^*=\frac{p}{bc}.[/tex3]
Assim, por pitágoras no [tex3]\triangle B^*C^*D^*[/tex3], temos: [tex3](\frac{d}{cq})^2+(\frac{a}{bq})^2=(\frac{p}{bc})^2\implies p^2q^2=a^2c^2+b^2d^2.∎[/tex3]

[geobson]

20210730_210911.jpg
Seja A o centro da circunferência de inversão [tex3]Γ[/tex3] de raio 1 e sejam [tex3]\omega _1, [/tex3], [tex3]\omega_2[/tex3] e [tex3]\omega_3[/tex3] os circuncírculos dos triângulos ABC, ACD e ABD.
Os inversos das circunferências [tex3]\omega _1[/tex3], [tex3]\omega _2[/tex3] e [tex3]\omega_3[/tex3] são as retas [tex3]\omega_1^*[/tex3], [tex3]\omega_2^*[/tex3] e [tex3]\omega_3^*[/tex3], com [tex3]\omega_1^*\perp \omega_2^*[/tex3], já que [tex3]\omega_1[/tex3] e [tex3]\omega_2[/tex3] são ortogonais.
Como [tex3]\omega_1\cap \omega_3=B[/tex3], [tex3]\omega_2\cap \omega_3=D[/tex3] e [tex3]\omega_1\cap\omega_2=C[/tex3], então os inversos destes pontos em relação a [tex3]Γ[/tex3], serão [tex3]\omega_1^*\cap \omega_3^*=B^*[/tex3], [tex3]\omega_2^*\cap\omega_3^*=D^*[/tex3] e [tex3]\omega_1^*\cap\omega_2^*=C^*.[/tex3]
Deste modo, pela definição de inversão, temos: [tex3]AB×AB^*=1\implies AB^*=\frac{1}{c}[/tex3] e [tex3]AC×AC^*=1\implies AC^*=\frac{1}{q}.[/tex3]
Desta forma: [tex3]\triangle ABC∽\triangle AB^*C^*\implies \frac{c}{d}=\frac{\frac{1}{q}}{B^*C^*}\implies B^*C^*=\frac{d}{cq};[/tex3]
[tex3]\triangle ACD∽\triangle AC^*D^*\implies \frac{b}{a}=\frac{\frac{1}{q}}{B^*C^*}\implies B^*C^*=\frac{d}{cq};[/tex3]
[tex3]\triangle ABD∽\triangle AB^*D^*\implies \frac{b}{p}=\frac{\frac{1}{c}}{B^*D^*}\implies B^*D^*=\frac{p}{bc}.[/tex3]
Assim, por pitágoras no [tex3]\triangle B^*C^*D^*[/tex3], temos: [tex3](\frac{d}{cq})^2+(\frac{a}{bq})^2=(\frac{p}{bc})^2\implies p^2q^2=a^2c^2+b^2d^2.∎[/tex3]

Perfeito, meu amigo !
Maravilha! Linda resolução .
Obrigado !!!

[geobson]

Achei neste blog a demonstração do teorema de ptolomeu por inversão :
https://ichi.pro/pt/como-a-inversao-do- ... 4372347021

[NigrumCibum]

geobson, tem no EGMO também, muito linda essa demonstração.

20210730_224645.jpg (19.38 KiB) Exibido 802 vezes

[geobson]

geobson, tem no EGMO também, muito linda essa demonstração.
20210730_224645.jpg

Legal! Vou dar uma olhadela.