Ensino Médio ⇒ (FB) Sistemas lineares II: homogêneos e não lineares

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Sejam P e Q matrizes quadradas de mesma ordem. Analise as sentenças:
i. Se uma das matrizes P ou Q é não singular, então PQ e QP têm os mesmos autovalores
ii. Se -1 é um autovalor de P, então 1 é autovalor de P²
iii. Se existe matriz invertível C tal que P = CQC^{-1}, então P e Q têm os mesmos autovalores
iv. det(I-PQ)=det(I-QP)

A respeito dessas sentenças, podemos afirmar que
a) todas são verdadeiras
b) somente i é falsa
c) somente iv é falsa
d) exatamente ii e iii são verdadeiras
e) nda

Resposta

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E

[Usuário Excluído 30973]

Gab tá errado, eu acho.

Acho que é isso.
Na demosntração da IV, eu usei matrizes em blocos. Não especifiquei ali, mas o determinante de uma matriz triangular em blocos, é dado pelo produto dos determinantes dos blocos que estão na diagonal principal.

Acabei não demonstrando a propriedade usada em II, mas tem como provar por indução.