Ensino Superior ⇒ Homomorfismo

[Fgui314]

Dado o homomorfismo [tex3]f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[/tex3] definido por [tex3]f(m) = \overline{m}.[/tex3] Construa o núcleo de [tex3]f.[/tex3]

[deOliveira]

Dado [tex3]n\in\mathbb Z[/tex3] temos que um, e somente um, dos seguintes casos é verdadeiro
[tex3]n=4k\\n=4k+1\\n=4k+2\\n=4k+3[/tex3]
para algum [tex3]k\in\mathbb Z[/tex3].

Se [tex3]n=4k[/tex3] temos que [tex3]f(n)=f(4k)=\overline{4k}=\overline4\cdot\overline k=\overline 0.[/tex3]
Logo [tex3]Ker f\supset\{n\in\mathbb Z:n=4k,\ k\in\mathbb Z\}[/tex3].

Por outro lado, nos demais casos temos:
[tex3]f(4k+1)=\overline{4k+1}=\overline{4k}+\overline 1=\overline1\ne\overline 0\\
f(4k+2)=\overline 2\ne\overline 0\\
f(4k+3)=\overline 3\ne\overline 0[/tex3]

Portanto, temos que [tex3]Ker f=\{n\in\mathbb Z:n=4k,\ k\in\mathbb Z\}[/tex3].

Espero ter ajudado.