Ensino Superior ⇒ Teorema das Linhas Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID: 25571)]

Usando o teorema das linhas calcule a seguinte soma:

[tex3]\sum_{k=2}^{60}(k-1)C_{60}^{k}[/tex3]

[NigrumCibum]

Seja [tex3]S=\sum_{k=2}^{60}(k-1)\binom{60}{k}=\sum_{k=2}^{60} k\binom{60}{k}-\sum_{k=2}^{60}\binom{60}{k}.[/tex3]
Deste modo [tex3]S_1=\sum_{k=2}^{60}k\binom{60}{k}=2\binom{60}{2}+3\binom{60}{3}+\dots+60\binom{60}{60} \implies S_1+\binom{60}{1}=\sum_{p=1}^{60}p\binom{60}{p} [/tex3], e como sabemos [tex3]\sum_{r=1}^{m}r\binom{m}{r}=m×2^{m-1}[/tex3]

Resposta

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Demonstração: Sabemos que [tex3]\binom{m}{r}=\frac{m}{r}\binom{m-1}{r-1}[/tex3], então a soma pode ser escrita da seguinte forma: [tex3]\sum_{r=1}^{m}r\binom{m}{r}=\sum_{r=1}^{m}m\binom{m-1}{r-1}=m\sum_{s=0}^{m-1}\binom{m-1}{s}[/tex3] e pelo teorema das linhas, segue que [tex3]m\sum_{s=0}^{m-1}\binom{m-1}{s}=m×2^{m-1}[/tex3]

então [tex3]S_1+\binom{60}{1}=60×2^{59}\implies S_1=60×2^{59}-60.[/tex3]
Seja [tex3]S_2=\sum_{k=2}^{60}\binom{60}{k}[/tex3], assim: [tex3]S_2+\binom{60}{0}+\binom{60}{1}=\binom{60}{0}+\binom{60}{1}+\binom{60}{2}+\dots+\binom{60}{60} \implies S_2+61=2^{60}\implies S_2=2^{60}-61.[/tex3]
Portanto [tex3]S=58×2^{59}+1.[/tex3]