Ensino Superior ⇒ Verificação subespaço vetorial do espaço vetorial V

[Veicker]

Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto [tex3]W[/tex3] é um subespaço vetorial do espaço vetorial [tex3]V[/tex3]. Caso não sejam especificadas, considere as operações usuais.
[tex3]V = M_{2} , W = \left \{ \begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}\right \}[/tex3]

[deOliveira]

Temos de checar os três seguintes itens:
1) [tex3]0\in W[/tex3]
2) Dados [tex3]u,v\in W[/tex3] temos [tex3]u+v\in W[/tex3]
3) Dados [tex3]u\in W[/tex3] e [tex3]\mu\in\mathbb R[/tex3] temos [tex3]\mu u\in W[/tex3].

Para 1) se tivermos [tex3]a=b=c=0[/tex3] teremos que [tex3]\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}[/tex3], logo , [tex3]0\in W[/tex3].

Sejam [tex3]A,B\in W[/tex3] e [tex3]\mu\in\mathbb R[/tex3] dados.
Considere [tex3]A=\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}[/tex3] e [tex3]B=\begin{pmatrix} a_0 & b_0 \\ -a_0 & c_0 \\ \end{pmatrix}[/tex3].

[tex3]A+B=\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_0 & b_0 \\ -a_0 & c_0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+a_0 & b+b_0 \\ -a-a_0 & c+c_0 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+a_0 & b+b_0 \\ -(a+a_0) & c+c_0 \\ \end{pmatrix}\in W[/tex3].
Portanto, 2) vale.

[tex3]\mu A=\mu\begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mu a & \mu b \\ -\mu a &\mu c \\ \end{pmatrix}\in W[/tex3].
Portanto, 3) também vale.

Dessa forma, concluímos que [tex3]W[/tex3] é um subespaço vetorial de [tex3]V[/tex3].

Espero ter ajudado.