Ensino Superior ⇒ Pontos críticos, máximos e mínimos locais e valores absolutos

[Veicker]

1.Encontre todos os pontos críticos, máximos e mínimos locais e valores absolutos, se existirem.

[tex3]y = \sqrt{3 + 2x - x²}[/tex3]

[deOliveira]

[tex3]f(x)=\sqrt{3+2x-x^2}[/tex3]

Primeiro encontremos o domínio de [tex3]f[/tex3].
O argumento da raiz deve ser maior ou igual a zero.
[tex3]3+2x-x^2\ge0\\x^2-2x-3\le0\\
(x+1)(x-3)\le0\\
-1\le x\le 3[/tex3]
Portanto, [tex3]Dom_f=[-1,3][/tex3]

Então, pelo Teorema de Weierstrass, [tex3]f[/tex3] admite máximo e mínimo absoluto.
Além disso, os candidatos a pontos de mínimo e máximo locais são os pontos críticos e os extremos do domínio.

Procuremos os pontos críticos:
[tex3]f'(x)=\frac{-2x+2}{2\sqrt{3+2x-x^2}}\\
f'(x)=0\iff -2+2=0\iff x=1[/tex3]

Portanto, os candidatos são [tex3]x_0=-1[/tex3], [tex3]x_1=1[/tex3] e [tex3]x_2=3[/tex3].

Além disso, temos que como raiz é sempre positiva o sinal da derivada de [tex3]f[/tex3] depende só do numerador. Ou seja:
[tex3]f'(x)\le0\iff -2x+2\le0\iff x\ge1\\
f'(x)\ge0\iff-2x+2\ge0\iff x\le 1[/tex3]

Então:
[tex3]f[/tex3] é crescente no intervalo [tex3](-1,1)[/tex3]
[tex3]f[/tex3] é decrescente no intervalo [tex3](1,3)[/tex3]

Assim, temos que:
[tex3]x_0=-1[/tex3] é ponto de mínimo local
[tex3]x_1=1[/tex3] é ponto de máximo local, como é o único ponto de máximo, ele é ponto de máximo absoluto de [tex3]f[/tex3]
[tex3]x_2=3[/tex3] é ponto de mínimo local

Calculando o valor de [tex3]f[/tex3] nesses pontos:
[tex3]f(x_0)=f(-1)=0\\f(x_1)=f(1)=\sqrt4=2\\f(x_2)=f(3)=0[/tex3]

E assim, temos que [tex3]x_0=-1[/tex3] e [tex3]x_2=3[/tex3] são pontos de mínimo absoluto de [tex3]f[/tex3].

Espero ter ajudado.