Cap. 6 - Polígonos ⇒ Solucionário:Racso - Cap VI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:26 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema proposto
26 - Na diagonal AE de um octógono regular ABCDEFGH se marca um ponto P
tal que [tex3]\mathsf{\measuredangle FPE} [/tex3] mede 30^o. Calcular a medida [tex3]\mathsf{\measuredangle HPF}[/tex3].

Resposta

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D) 75^o

[NigrumCibum]

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Considere o quadrilátero PHIF, como HF||PI, temos: [tex3]\angle PFH=\angle FPI=30° [/tex3], além disso, é fácil ver que [tex3]\angle IFH=\angle IHF=45°[/tex3], então [tex3]\angle IFP=45°-30°=15°[/tex3] e [tex3]\angle HIP=\angle IHF=45°. [/tex3]
Seja [tex3]Q=(PIF)\cap IH [/tex3], desta forma [tex3]\angle IQF=\angle IPF=30° [/tex3], [tex3]\angle IFP=\angle IQP=15° [/tex3], [tex3]\angle PFQ=\angle PIQ=45°[/tex3] então [tex3]\angle HFQ=15°[/tex3] e PQ=PF.
Seja O o circuncentro do triângulo QHF, então: [tex3]\angle QOH=30°[/tex3], [tex3]\angle HOF=60°\implies OH=OQ=OF=FH[/tex3] e [tex3]\angle OFQ=\angle OQF=45° [/tex3] o que implica que [tex3]\triangle OQF≡ \triangle PQF.[/tex3]
Portanto OF=OQ=PQ=PF, o que implica que [tex3]\angle FHP=\angle FPH=75°.[/tex3]