Cap. 7 - Cuadriláteros ⇒ Solucionário:Racso - Cap VII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:-03 Tópico resolvido

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Problema Proposto
3 - Em um quadrilátero convexo ABCD (não convexo em C) os prolongamentos dos lados BC e AD
interceptam perpendicularmente os lados AD e BC respectivamente, Calcular a medida dos ângulos
que forma as diagonais do quadrilátero formado.

Resposta

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d) 90^o

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[tex3]
\measuredangle {ECG}=\frac{\measuredangle ECF}{2} = \frac{(90+\alpha)}2=45+\frac{\alpha}{2}\\
\measuredangle ECA = \measuredangle ECG=45+\frac{\alpha}{2}\\
\measuredangle EAC=90-(45+\frac{\alpha}2)=45-\frac{\alpha}2\\
\therefore \measuredangle ECG=\measuredangle AEG\\ \triangle ECA \sim \triangle EGA , pois \measuredangle CEA = 90^o\\
\therefore\boxed{\color{red}\widehat{EGA}=90^o}
[/tex3]
(Solução :sirious)

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Eu pensei assim

[tex3]\triangle EDC \sim \triangle BFC (A.A.) \implies \measuredangle D = \measuredangle B\\
\measuredangle DCE =\measuredangle FCB = 90^\circ-\alpha\\
\measuredangle A = 2\theta\\
\measuredangle BCD = 2\alpha+2\theta\\
\measuredangle ECF = 180-(90-\alpha) = 90+\alpha =\measuredangle BCD \\
\triangle DFA: \alpha + 2\theta = 90^\circ\\
\triangle CEF (isosceles) :\measuredangle GEC = 45-\frac{\alpha}{2} = \measuredangle CEG[/tex3]

Como o triângulo GEF é isósceles, então o quadrilátero BDEF é um trapézio isósceles, então o triângulo ABD é também isósceles, então podemos afirmar que C é o ortocentro do triângulo ABD e assim C é ortocentro (encontrando alturas), então AC é perpendicular DB, o ângulo CGE medirá 90 graus porque CG será a altura do triângulo CEF.